Das Knicken schwerer Gestänge. (Q2584561)

Werden lange schwere an ihrem oberen Ende befestigte Gestänge in ihrem unteren Ende durch eine Knickkraft \(P\) beansprucht, so ist nur ein Teil \(b=\dfrac P{\mu g}\) des Gestänges gedrückt, der übrige Teil bleibt gezogen. \(P\) ergibt sich dabei rechnerisch mittels einer Determinante, wenn man zuvor die Gestängelänge \(l=xb\) setzt, wo \(x\) eine willkürlich angenommene Zahl ist. Ist also \(l\) von Haus aus gegeben, so muß \(P\) durch Interpolation aus den mittels verschiedener Annahmen von \(x\) bestimmten Werten \(P\) und somit aus \(b\) und \(l\) bestimmt werden, was Verf. durch ein Schaubild veranschaulicht, aus dem zugleich hervorgeht, daß sich die Werte \(P\) asymptotisch gewissen Grenzwerten nähern, wenn \(x\) sehr große Werte annimmt. Diese Grenzwerte sind von den Lagerungen der Gestängeenden bestimmt, wobei sich allerdings zeigt, daß es gleichgültig ist, ob bei großen Gestängelängen das obere Ende drehbar befestigt oder eingespannt ist. Ausgehend von dem bekannten Minimalprinzip der Elastizitätstheorie gewinnt Verf. im 1. Abschnitt die Differentialgleichung des Problems und die den einzelnen Lagerungsfällen zugeordneten Randbedingungen. Im 2. Abschnitt bringt er die Lösungen für an einem Ende frei verschiebbare Gestänge, wobei er bei endlicher Länge derselben die Reihenentwicklungen der Besselschen Funktionen mit den Parametern \(\pm \dfrac 13\), auf die die Integration der Differentialgleichung in diesem Falle fuhrt, in der Knickdeterminante auswertet, bei sehr langen Gestängen aber den Grenzwert der Knickkraft durch Benutzung der Hankelschen asymptotischen Reihen für die Besselschen Funktionen berechnet. In analoger Weise werden im 3. Abschnitte Gestänge bewältigt, deren Enden seitwärts nicht ausweichen können. Hierbei treten in diesen allgemeineren Fällen allerdings sogenannte Lommelsche Funktionen statt der Besselschen in die Rechnung ein, und überhaupt gestaltet sich die Auswertung der Knickdeterminante wesentlich schwieriger. Verf. bewältigt diese Auswertung durch geschickte Transformationen der Determinante und Beachtung der nötigen Grenzübergänge. Im 4. Abschnitte wird schließlich gezeigt, daß ein etwaiger hydrostatischer Druck die Knickkraft vermindert Die Arbeit ist wegen der Anwendbarkeit ihrer Ergebnisse auf Bohrgestänge auch für die Praxis wertvoll. Die Ergebnisse des 3. Abschnittes sind für den Fall \(b=l\) näherungsweise und strenge bereits angegeben in der Arbeit des Ref.: ``Über die Knickung gerader Stäbe durch ihr Eigengewicht'' Z. Bauwesen 1925, 86-92 (Fälle II-V); aus den S. 92 angegebenen Zahlenwerten der Arbeit des Ref. müssen die dritten Wurzeln gezogen werden, um die Zahlenwerte unter b der Tabelle auf S. 49 der Arbeit des Verf. zu erhalten. Fall I stellt ebenso den vom Verf. S. 46 behandelten Fall dar, während VI einen neuen Lagerungsfall behandelt. Eine Verallgemeinerung durch Mitbeachtung von Einzellasten behandelt die Arbeit des Ref.: ``Über die Knickung gerader Stäbe durch Eigengewicht und Einzellasten'' Z. Bauwesen 1928, Heft 9/10.