Über die Ausbreitung von Zylinder- und Kugelwellen in reibungsfreien Gasen und Flüssigkeiten. (Q2584772)

Unter Vernachlässigung der Wärmeleitung und der Schwerkraft behandelt Verf. die nichtstationären Bewegungsgleichungen reibungsfreier Gase und Flüssigkeiten für den Fall, daß der Druck \(p\) nur von der Dichte \(\varrho\) abhängt. Da die allgemeine Lösung dieser Aufgabe noch aussteht, erscheint es um so bedeutsamer, daß dem Verf. die mathematische Beschreibung einer ganzen Klasse von Zylinder- und Kugelwellen, die strengen Lösungen der Aufgabe entsprechen, gelingt. Es handelt sich (bei gleichzeitiger Berücksichtigung von Zylinder- und Kugelwelle) um die Integration der Gleichungen \[ \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial r} +\frac 1\varrho\frac{\partial p}{\partial r}, \quad \frac{\partial \varrho}{\partial t} + u\frac{\partial \varrho}{\partial r}+\varrho \frac{\partial u}{\partial r} +\frac{k-1}r\varrho u=0 \] unter der Voraussetzung polytroper Zustandsänderung: \[ p-p_0=\frac{a^2\varrho^n}n. \] Die Adiabaten der idealen Gase ergeben sich für \(p_0=0\), \(n = c_p/c_v\); bei Flüssigkeiten hat man \(p_0\neq 0\), \(n=-1\). Für Zylinderwellen ist \(k=2\), für Kugelwellen \(k = 3\); \(u\) bedeutet die radiale Komponente der Strömungsgeschwindigkeit, \(r\) die Entfernung vom Mittelpunkt der Kugel bzw. von der Zylinderachse. Unter der Annahme, daß die Dichte nur von der Strömungsgeschwindigkeit abhängt: \(\xi=F(\eta)\), Variablentransformation \[ \xi=\frac{2a\varrho^{(n-1)/2}}{\sqrt{k(n-1)}}; \quad \eta=u\sqrt{n-1}, \] läßt sich das Problem auf die Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung 1. Ordnung zurückführen, die im Fall \(n=-1\) in geschlossener Form gelingt. Für \(n\neq -1\) wird eine zur numerischen Integration handliche Form der Differentialgleichung angegeben. Aus der besonderen Annahme \(\xi=F(\eta)\) folgt, daß feste, aber beliebig gewählte Werte der Dichte und der Strömungsgeschwindigkeit sich bei diesen Wellen mit konstanter Geschwindigkeit \(dr/dt\) weiterbewegen. Stoßwellen gibt es entweder für alle \(t\) oder gar nicht. Auch die Erweiterung des Ansatzes \(t=F(\eta)\) zu \[ \xi=r^{-\alpha}F(r^\alpha\eta) \] führt auf eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung zurück. Verf. erhält so ein vollständiges Integral des Ausgangsgleichungssystems. Ergebnis: die Wellen verzerren sich im allgemeinen beim Weiterwandern; Stoßwellen treten auch in diesem Fall zu allen Zeiten auf oder gar nicht. Die Frage nach dem allgemeinen Integral wird zwar angeschnitten, aber nicht beantwortet. Es wird in diesem Zusammenhang vielmehr auf eine Methode von Forsyth hingewiesen, das Problem der allgemeinen Integration für Kugel- und Zylinderwellen selbst bleibt jedoch offen.