Über die Differentialgleichungen der Wellenausbreitung in Gasen. (Q2584773)

Das Problem der Wellenausbreitung in Gasen wird durch nicht-lineare Differentialgleichungen beherrscht und führt auf Fragen und Ergebnisse, die sich von den in der theoretischen Physik sonst üblichen Rand- und Anfangswertaufgaben nicht unerheblich unterscheiden. Verf. gibt eine Zusammenstellung von Bemerkungen, die der besonderen Art der Aufgabe Rechnung tragen und für ihre Bearbeitung von Nutzen sein sollen. Das Problem der \textit{ebenen} reibungsfreien Wellen wurde unter der Voraussetzung polytroper Zustandsänderungen von Riemann behandelt (vgl. auch Verf., Ann. Physik (5) 37 (1940), 89-123; F. d. M. 66, 1087 (JFM 66.1087.*)); für das Problem der Ausbreitung von Zylinder- und Kugelwellen konnte Verf. kürzlich eine Klasse von Lösungen angeben (vgl. die vorstehend besprochene Arbeit). In der vorliegenden Arbeit wird zunächst im Anschluß an jene Arbeiten des Verf. der Einfluß von Ähnlichkeitstransformationen und ihre Ausnützung zur Bestimmung spezieller Integrale besprochen. Sodann wird bemerkt, daß sich die Einführung der Variablen \(m\), \(t\) \[ m = \int\limits_{x_0}^x \varrho\,dx, \] an Stelle von \(x\), \(t\) als zweckmäßig erweist. Eine weitere Bemerkung gilt der Zurückführung der nichtlinearen Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2W}{\partial t^2}+\frac{a^2}n\left(\frac {\partial^2W}{\partial m^2}\right)^n=0 \] auf die lineare Darbouxsche Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2V}{\partial z^2}- \frac{n+1}{n-1} \frac 1z \frac{\partial V}{\partial z}=\frac{\partial^2V}{\partial u^2} \] und die Integration einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung durch ``Aufspaltung''. Schließlich wird von der Voraussetzung des polytropen Zusammenhanges zwischen Druck und Dichte abgesehen. Es werden die für ebene Wellen in idealen Gasen mit Reibung und Wärmeleitung geltenden Gleichungen in den Variablen \(m\), \(t\) aufgestellt. Für ideale reibungsfreie nicht-wärmeleitende Gase erhält Verf. auf Grund eines einfachen Eliminationsverfahrens eine nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung und mittels der zuvor dargestellten Transformationsmethode eine Lösung, welche die Zustandgrößen in Abhängigkeit von einer willkürlich bleibenden Funktion von \(m\) enthält. Die Diskussion ergibt, daß die Wellen ihre Form beim Weiterwandern verzerren und Stoßwellen theoretisch sehr wohl möglich sind.