Ebene Wellen in idealen Gasen mit Reibung und Wärmeleitung. (Q2584774)

Verf. untersucht spezielle ebene Wellenvorgänge in Gasen, die Reibung und Wärmeleitung zeigen, wenn keine Volumkräfte wirken und auch die Schwerkraft nicht in Rechnung gesetzt wird. Der physikalische Zustand soll nur von einer kartesischen Koordinate \(x\) und der Zeit \(t\) abhängen. An Stelle von \(x\), \(t\) führt Verf. die Größen \(m=\int\limits_{x_0}^x \varrho\,dx\) und \(t\) als unabhängige Veränderliche ein. Es handelt sich dann um das Integrationsproblem der drei Bewegungsgleichungen \[ \begin{aligned} &\text{1a)} \quad \frac{\partial v}{\partial t} -\frac{\partial u}{\partial m}=0; \qquad \text{1b)} \quad \frac{\partial }{\partial t} \left(u-\mu\frac{\partial \log v}{\partial m}\right) +\frac{\partial }{\partial m}\left(\frac{CT}v\right)=0, \\ &\text{1c)} \quad \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{CT}{\varkappa-1}+\frac{u^2}2\right) + \frac{\partial}{\partial m}\left(\frac{CT}vu-\mu u \frac{\partial \log v}{\partial t}-\lambda_1\frac {C\dfrac{\partial T}{\partial m}}v\right)=0. \end{aligned} \] Hier bedeutet \(p\) den Druck, \(T\) die Temperatur, \(\varrho\) die Dichte, \(v = 1/\varrho\) das spezifische Volumen, \(u\) die \(z\)-Komponente der Strömungsgeschwindigkeit, \(\mu\) die Reibungskonstante, \(\lambda\) die Wärmeleitfähigkeit, \(C\) die durch das Molekulargewicht \(M\) geteilte Gaskonstante \(R\), \(\lambda_1=\lambda/C\), \(\varkappa=c_p/c_\nu\). Da strenge nichtstationäre Lösungen des Problems noch nicht bekannt sind, setzt sich Verf. in der vorliegenden Arbeit zum Ziel, eine ganze Reihe spezieller Lösungen abzuleiten und auf physikalisches Verhalten zu untersuchen. Zunächst führt Verf. das Problem auf die Integration der nichtlinearen Differentialgleichung 5. Ordnung für eine Funktion \(K(m,t)\) zurück: \[ \begin{multlined} 2) \quad \mu\frac{\partial^4K}{\partial m^2\partial t^2} -\varkappa\left(\frac{\partial^3K}{\partial m^2\partial t} \right)\left(\frac{\partial^2K}{\partial t^2}\right) \left(\frac{\partial^2K}{\partial m^2}\right)\left(\frac{\partial^3K}{\partial t^3}\right) \\ -\lambda_2 \frac{\partial}{\partial m}\left[ \left\{ \frac{\partial}{\partial m}\left(\mu \frac{\partial^3K}{\partial m^2\partial t}\frac{\partial^2K}{\partial m^2}\cdot \frac{\partial^2K}{\partial t^2}\right)\right\}/\frac{\partial^2K}{\partial m^2}\right]=0 \end{multlined} \] Mit der allgemeinen Lösung von 2) wäre die allgemeine Lösung von 1) durch Differentiation vermöge der Beziehungen \[ \begin{gathered} x=\frac{\partial K}{\partial m}, \quad k=\frac{\partial^2K}{\partial m\partial t}, \quad v=\frac{\partial^2K}{\partial m^2} \\ p=\mu\frac{\partial}{\partial t}\left(\log \frac{\partial^2K}{\partial m^2}\right)-\frac{\partial^2K}{\partial t^2}, \quad CT=\mu\frac{\partial^3K}{\partial m^2\partial t}-\frac{\partial^2K}{\partial m^2}\cdot \frac{\partial^2K}{\partial t^2} \end{gathered} \] ebenfalls bekannt. Der Auffindung spezieller Integrale von 2), nach verschiedenen Methoden (Ähnlichkeitstransformationen, Dimensionsbetrachtungen, Probieren und Heranziehung eines in der vorstehend besprochenen Arbeit vom Verf. entwickelten Verfahrens) schickt Verf. eine Klärung der Frage, welche physikalischen Größen bei dem Integrationsproblem willkürlich vorgegeben werden können, an Hand einer Taylor-Entwicklung voraus. Die Diskussion der gewonnenen Integrale geht auf die physikalische Bedeutung der Lösungen und besonders auf die Möglichkeit von Stoßwellen ein. Die Ergebnisse sind so reichhaltig, daß ihretwegen auf die Arbeit selbst verwiesen werden muß.