Über neue atmosphärische Bewegungsgleichungen und eine Differentialgleichung des Luftdruckfeldes. (Q2584830)

An anderer Stelle (Ann. Hydrographie marit. Meteorologie 68 (1940), 421-431; F. d. M. 66, 1115 (JFM 66.1115.*)) hat Verf. neue atmosphärische Bewegungsgleichungen aufgestellt, in denen er die Trägheitskräfte durch nichtlineare Terme des Druckfeldes ausdrückt. Diese Gleichungen haben den Nachteil, daß der (reibungsfreie) Wind im stationären Fall parallel den Isobaren weht, und daß bei geradlinigen Isobaren sich der geostrophische Wind nur ergibt, wenn der Druckgradient in seiner Richtung keine Änderung seines Betrages besitzt. Durch Hinzunahme eines weiteren Gliedes lassen sich verbesserte Bewegungsgleichungen aufstellen: \[ \begin{aligned} v_x &=-\frac1{f\varrho}\frac{\partial p}{\partial y} \left(1-\frac1{f^2\varrho}\varDelta p\right)\frac1{2f^3\varrho^2}\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial p}{\partial n}\right)^2\frac1{f^2\varrho}\frac{\partial^2p}{\partial x\partial t}, \\ v_y &=+\frac1{f\varrho}\frac{\partial p}{\partial x} \left(1-\frac1{f^2\varrho}\varDelta p\right)+ \frac1{2f^3\varrho^2}\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial p}{\partial n}\right)^2\frac1{f^2\varrho}\frac{\partial^2p}{\partial y\partial t}, \end{aligned} \] wo \(p =\) Druck, \(\varrho =\) Dichte, \(\dfrac{\partial p}{\partial n}\) der Absolutbetrag des Druckgradienten, \(f=2\omega\sin\varphi\), \(\varDelta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}\) ist. Diese stimmen mit den Hesselberg-Brunt-Douglasschen Gleichungen überein und sind von den obengenannten Mängeln frei; der Winkel zwischen Wind und Isobarenrichtung ist abhängig vom Konvergieren der Isobaren. Durch Einsetzen in die Beziehung \(\operatorname{div}\varrho\mathfrak v\approx 0\), deren Berechtigung durch Größenordnungsbetrachtungen aufgezeigt wird, ergibt sich eine Differentialgleichung des Luftdruckfeldes \[ \frac{\partial}{\partial t}\varDelta p+\frac1{f\varrho}\left( \frac{\partial p}{\partial x}\frac{\partial\varDelta p}{\partial y}\frac{\partial p}{\partial y}\frac{\partial\varDelta p}{\partial x} \right)+\beta\cdot\frac{\partial p}{\partial x}=0, \] wobei \(a\beta=2\omega\cos\varphi\) und \(a\) der Erdradius ist. Diese kann durch Aufspaltung von Druck, Dichte und Strömung in Mittel- und Störungswerte linearisiert werden. Die Brauchbarkeit der so gewonnenen Gleichung für die Zyklonentheorie wurde bereits in der oben genannten Arbeit erwiesen.