Quelques problèmes relatifs aux circuits électriques couplés. (Q2584926)

Verf. berichtet über einige Probleme aus der Theorie der elektrischen Siebschaltungen, zu deren Lösung er die bekannten, durch \[ y_n(x) - xy_{n-1}(x) + y_{n-2} (x) = 0,\qquad y_0 = 1,\qquad y_1 = x \] erklärten Polynome (Tschebyscheffschen Polynome 2. Art) heranzieht, die als ``elektrosphärische'' bezeichnet werden. Mit \(x=2 \cos \varphi\) schreiben sich diese Polynome \[ y_n(2\cos\varphi)=\frac{\sin(n+1)\varphi}{\sin\varphi}, \] ihre Nullstellen sind daher \[ x_k=2\cos\frac{k\pi}{n+1}\qquad (k =1,2,\ldots, n). \] Mit Hilfe dieser Polynome lassen sich die Eigenfrequenzen der Mehrzahl der in der Praxis Verwendung findenden Siebschaltungen bestimmen und daraus der Bereich der Frequenzen, weiche ein elektrisches Filter durchläßt. Auch können Bedingungen dafür angegeben werden, wann zwei Siebschaltungen eine oder mehrere gleiche Eigenfrequenzen besitzen. Des weiteren wird eine Ähnlichkeitsbetrachtung zwischen einem speziellen System gekoppelter Pendel und einer elektrischen Schaltung durchgeführt, und es werden die Eigenschwingungen einer allgemeineren Siebschaltung untersucht, sowie die erzwungenen Schwingungen derselben, wobei die eingeprägte elektromotorische Kraft als sinusförmig vorausgesetzt wird.