Opérateurs hermitiques et espace de Riemann. (Q2585032)

Es wird eine Quantisierung der mechanischen Gleichungen gesucht, die bei beliebigen Koordinatentransformationen invariant ist. Die Koordinaten und Impulse werden dazu ersetzt durch hermitesche Matrizen \(X^\alpha\) bzw. \(Y_\alpha\). Die \(X^\alpha\) und \(Y_\alpha\) sind je unter sich kommutativ, nicht aber ein \(X\) mit einem \(Y\). Der Fundamentaltensor wird ersetzt durch die hermiteschen Matrizen \(G^{\lambda\mu}\), kommutativ mit den \(X^\alpha\), nicht aber mit den \(Y_\alpha\). Bei der Koordinatentransformation \(X^\alpha =f^\alpha(X^{\alpha'})\) treten an Stelle der intermediären Bestimmungszahlen des Einheitsaffinors die Matrizen \(A^\alpha_{\alpha'}=\partial_{\alpha'}f^\alpha\) und es gilt \[ A^\alpha_{\alpha'} Y_\beta-Y_\beta A^\alpha_{\alpha'}=\bar h\partial_\beta A^\alpha_{\alpha'}. \] \(G^{\lambda\mu}\) und \(Y_\alpha\) transformieren sich richtig wie Tensorbzw. Vektorkomponenten, der in den kanonischen Gleichungen auftretende Ausdruck \(\dfrac{dX^\alpha}{du}\) bekommt aber bei der Transformation ein Korrektionsglied, das \(\bar h\) enthält. Die Kommutierungsgleichungen lauten \[ \begin{gathered} G^{\lambda\alpha}Y_\alpha-Y_\alpha G^{\lambda\alpha}=-\bar h \partial_\alpha G^{\lambda\alpha},\;\frac{dX^\alpha}{du}Y_\beta-Y_\beta\frac{dX^\alpha}{du}= \bar hG^{\alpha\sigma}\left[\begin{matrix} \beta\varrho\\ \sigma\end{matrix}\right] \frac{dX^\varrho}{du},\\ \frac{dX^\alpha}{du}\frac{dX^\beta}{du}\frac{dX^\beta}{du}\frac{dX^\alpha}{du}=0 \end{gathered} \] und die kanonischen Gleichungen \[ \frac{dX^\alpha}{du}=G^{\alpha\beta}Y_\beta+\tfrac12 \bar h \partial_\beta G^{\beta\alpha}, \;\frac{dY_\alpha}{du}=-\tfrac12(\partial_\alpha G^{\lambda\mu}) Y_\lambda Y_\mu-\tfrac12 \bar h (\partial_\alpha\partial_\beta G^{\beta\lambda})Y_\lambda. \] Zum Schluß folgen noch die Bewegungsgleichungen für einen Punkt im Riemannschen Raume.