Note on sums of fourth powers. (Q2585233)

Verf. zeigt, daß jede natürliche Zahl \(n\) durch 11 vierte Potenzen dargestellt werden kann als \(n=\pm x_1^4\pm\cdots\pm x_{11}^4\). Für \(n\not\equiv 0\pmod 8\) folgt dies aus der Darstellbarkeit \(n\equiv 12\pm x_1^4 \pm x_2^4\pm x_3^4\pmod{24}\), denn man erhält daraus \[ n=(x+2)^4-3(x+1)^4+3x^4-(x_{-1})^4\pm x_1^4\pm x_2^4\pm x_3^4. \] Für \(n\equiv 0\pmod 8\), \(n\not\equiv 0(16)\) folgt aus Hilfssatz~2 der simultanen Lösbarkeit von \(x_1^4+x_2^4+x_3^4\equiv a\pmod p\) für \(p\equiv -1\pmod 4\) und jedes \(a\) durch Anwendung auf \(a=n-1165573\) und \(p=3\), 7, 647 die Gleichung \[ n=16\cdot3\cdot7\cdot647x+1165573+x_1^4+x_2^4+x_3^4. \] Nach Hilfssatz~1 ist aber gerade \[ \begin{gathered} (x+3)^4+(2x+1)^4+(6x+3)^4+(6x+37)^4+(6x-15)^4+(12x+15)^4\\ -(11x+1)^4-(10x+30)^4=16\cdot3\cdot7\cdot647x+1165573. \end{gathered} \] Der Fall \(n\equiv 0\pmod{16}\) führt nach Division durch die höchste in \(n\) enthaltene Potenz von 16 auf einen der beiden behandelten Fälle zurück. (Für 12 vierte Potenzen ist der Satz bekannt, \textit{Hardy, Wright}, Introduction to the theory of numbers (Oxford 1938; F.~d.~M. 64\(_{\text{I}}\), 93), S.~325.)