The fractional dimensional theory of continued fractions. (Q2585249)

Unter der Dimension einer Zahlenmenge \(S\) wird nach Hausdorff folgendes verstanden: Für jede \(S\) überdeckende höchstens abzählbare Menge von Intervallen, deren Längen \(l_\nu\) höchstens gleich \(\varrho\) sind, bilde man die Summe \(\sum l_\nu^s\) und nehme bei festem \(s\) die untere Grenze \(L_{s,\varrho}(S)\) dieser Summen für alle möglichen derartigen Intervallmengen. Dann gibt es eine ganz bestimmte Zahl \(D(S)\) derart, daß \[ \lim_{\varrho\to 0}L_{s,\varrho}(S)= \begin{cases} \infty&\text{für \(s<D(S)\),}\cr 0&\text{für \(s>D(S)\)} \end{cases} \] ist. \(D(S)\) heißt die Dimension von \(S\); es ist \(0\leqq D(S)\leqq 1\). Alle Mengen von positivem äußerem Maß haben die Dimension 1, aber die Mengen vom Maß 0 werden durch den Dimensionsbegriff in Klassen aufgegliedert. Verf. bestimmt nun die Dimension von Zahlenmengen, deren Zahlen gewisse Eigenschaften in bezug auf die Teilnenner \(a_n\) ihrer regelmäßigen Kettenbruchentwicklung aufweisen. Die Hauptresultate sind die folgenden: Die Menge der Zahlen, für welche \(\lim a_n=\infty\) ist, hat die Dimension \(\frac12\). Die Menge der Zahlen, für welche \(\root n\of {a_n}\) bzw. \(\root n\of{\log a_n}\) nicht beschränkt ist, hat die Dimension \(\frac12\) bzw. 0. Für einige andere Mengen wird die Dimension wenigstens in Schranken eingeschlossen; z.~B. für die Menge der Zahlen, deren Teilnenner \(a_n\) sämtlich kleiner als 3 sind, liegt die Dimension zwischen 0{,}5306 und 0{,}5320.