Some properties of sets of the Cantor type. (Q2585254)

Es seien \(a_1\geqq a_2\geqq\cdots\) positive Zahlen mit \({\sum\limits_{\nu=1}^{\infty}}a_\nu=1\). Ferner sei \(\{\varepsilon_\nu\}\) eine Folge von Zahlen, deren jede gleich 0 oder 1 ist. Schließlich sei \(\mathfrak S\) die Menge derjenigen Zahlen \({\sum\limits_{\nu=1}^{\infty}}\varepsilon_\nu a_\nu\), welche allen möglichen Folgen \(\{\varepsilon_\nu\}\) entsprechen (bei festen alt \(a_1\), \(a_2\), \dots). In Beantwortung einer von M. Kac gestellten Frage wird gezeigt: Damit zu \textit{jedem} \(z\) mit \(0\leqq z\leqq2\) Zahlen \(x\) und \(y\) aus \(\mathfrak S\) existieren, für welche \(x+y = z\) gilt, ist not\-wendig und hinreichend, daß \(a_n\leqq2r_n\) für jedes \(n = 1\), 2,\dots, wobei \(r_n={\sum\limits_{\mu=n+1}^{\infty}}a_\mu\); es gibt dann und nur dann zu jedem \(z'\) mit \(-1\leqq z'\leqq+1\) solche \(x'\), \(y'\) aus \(\mathfrak S\), daß \(x' - y' = z'\). Im zweiten Teile der Arbeit wird gezeigt: Es sei \(0<\lambda<1\). Aus dem Intervall \([0, 1]\) entferne man das offene, zu ihm konzentrische Intervall der Länge \(\lambda\); mit den beiden Restintervallen je der Länge \(l_1=2^{-1}(1-\lambda)\) verfahre man ebenso, indem man je ein (offenes) Intervall der Länge \(\lambda l_1\) entfernt; usw. Die nach Ent\-fernung aller dieser Intervalle verbleibende perfekte, nirgends dichte Lebesguesche Nullmenge sei mit \(C_\lambda\) bezeichnet. Es sei ferner \(T_\lambda = C_\lambda\times C_\lambda\) als Punktmenge in einer \(x\), \(y\)-Ebene gedeutet; und es sei \(L(T_\lambda)\) das lineare Carathéodory-Maß von \(T_\lambda\). Dann gilt: Es ist \(L (T_\lambda) = \infty\) bzw. \(3: \sqrt5\leqq L(T_\lambda)\leqq\sqrt2\) bzw. \(L(T_\lambda) = 0\) je nachdem \(0 <\lambda<\frac12\) bzw. \(\lambda=\frac12\) bzw. \(\frac12<\lambda< 1\). Für \(\lambda=\frac12\) ist das Gillespie-Maß \(G (T_\lambda)\) von \(T_\lambda\) verschieden von \(L (T_\lambda)\) und zwar gilt \(3\sqrt2:\sqrt5\leqq G(T_{\frac12})\leqq2\). (Für \(0 <\lambda< \frac12 < \lambda < 1\) ist \(G (T_\lambda) = L(T_\lambda)\).)