Sur les familles indénombrables de suites de nombres naturels et les problèmes concernant la propriété \(C\). (Q2585256)

Diese Arbeit ist die Fortsetzung zweier Arbeiten des Verf. (Fundam. Mat., Warszawa, 30 (1938), 50-55; 32 (1939), 294-300; F. d. M. \(64_{\text{I}}\), 622; 65, 187). Ge\-geben seien zwei Folgen, natürlicher Zahlen \(\{x_n\}\) und \(\{y_n\}\); \(\{x_n\}\subset\{y_n\}\) bedeute \(x_n\leqq y_n\) für fast alle \(n\). \(\{y_n\}\) heiße Majorante einer Familie \(\varPhi\) von Folgen natürlicher Zahlen, wenn aus \(\{x_n\}\in\varPhi\) folgt \(\{x_n\}\subset\{y_n\}\). Eine Familie, die keine Majorante besitzt, heiße \textit{nicht beschränkt}. Verf. stellt zunächst verschiedene Sätze auf, die gleich\-bedeutend sind mit der Aussage \(B(\aleph_\xi)\): Jede Familie der Mächtigkeit \(\aleph_\xi\) von Folgen natürlicher Zahlen ist beschränkt. Besonders die Aussage \textit{non} \(B(\aleph_\xi)\) ist von Interesse. Offenbar folgt aus der Kontinuumshypothese \textit{non} \(B(\aleph_1)\). Verf. zeigt, daß die Exi\-stenz einer Menge zweiter Kategorie der Mächtigkeit \(\aleph_1\) bedingt non \(B(\aleph_1)\) und daß dies gleichwertig ist mit der Gültigkeit jeder der folgenden Aussagen: (1) Es gibt eine Familie von Folgen natürlicher Zahlen, die mittels der Beziehung \(\subset\) wohl\-geordnet ist vom Typ \(\varOmega\) und nicht beschränkt ist; (2) es gibt eine konzentrierte Menge (im Sinn von \textit{Besicovitch}, Acta math., Uppsala, 62 (1934), 289-300; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 36), die nicht abzahlbar ist. Dann stellt Verf. folgenden Satz auf: Wenn es in einer gegebenen Mächtigkeit \(\aleph_\xi\) eine konzentrierte Menge gibt, ist jede Menge dieser Mächtigkeit stetiges Bild einer konzentrierten Menge. Aus diesem Satz folgen drei Ergebnisse: (1) Die Eigenschaft, eine konzentrierte Menge zu sein, ist keine topologische Invariante, vorausgesetzt, daß unabzählbare konzentrierte Mengen existieren; (2) wenn zwei Mengen derselben Mächtigkeit existieren, von denen die eine konzentriert ist und die andere die Eigen\-schaft \(C\) (vgl. \textit{Sierpiński}, Hypothèse du continu (Warschau 1934; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 35), S. 37) besitzt, ist die Eigenschaft \(C\) keine topologische Invariante (negative Lösung eines Problems von Sierpiński), und die Eigenschaften \(C'\) und \(C''\) sind nicht erblich (Verf., Fundam. Math., Warszawa, 30 (1938), 50-55; F. d. M. \(64_{\text{I}}\), 622); (3) aus der Kontinuumshypothese folgt, daß das Intervall stetiges Bild einer Menge der Eigenschaft \(C\) ist. Besicovitch hat gezeigt, daß jede konzentrierte Menge die Eigenschaft \(C\) besitzt. Aus der Aussage \textit{non} \(B(\aleph_1)\) folgt daher die Existenz einer nicht abzählbaren Menge mit der Eigenschaft \(C\). Verf. beweist, daß die Existenzaufgaben von nichtabzähl\-baren Mengen der Eigenschaften \(C\) bzw. \(C'\) bzw. \(C''\). bzw. \(C\cdot\lambda\) zu je zweien gleich\-bedeutend sind (zur Definition der Eigenschaft \(\lambda\) vgl. \textit{Sierpiński} a. a. 0., S. 94). So folgt insbesondere aus der Kontinuumshypothese die Existenz einer nicht ab\-zählbaren Menge, die zugleich die Eigenschaften \(C\) und \(\lambda\) besitzt (Problem von Sierpiński). Überdies zeigt Verf., daß die Kontinuumshypothese gleichbedeutend ist mit der Existenz zweier Mengen, von denen die eine von der Mächtigkeit \(\aleph_1\) ist und die Eigenschaft \(C\) besitzt, während die andere die Mächtigkeit \(2^{\aleph_0}\) hat und die Eigenschaft \(L\) besitzt (vgl. \textit{Sierpiński} a. a. O., S. 37). Schließlich erhält Verf. bei Behandlung einer \textit{Hausdorff}schen Aufgabe (Fun\-dam. Math., Warszawa, 26 (1936), 241-255; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 228) das Ergebnis: \textit{non} \(B(\aleph_1)\) ist gleichbedeutend mit der Existenz einer Lücke vom Typ \((\varOmega,\omega^*)\) (vgl. \textit{Hausdorff}, a. a. 0., S. 243) in der Familie aller dyadischen Folgen. Gleichbedeutend ist auch die Existenz einer Lücke \((\varOmega,\omega^*)\) in der Familie aller Folgen natürlicher Zahlen.