Note on the summation of a classical divergent series. (Q2585275)

\({\sum\limits_{n=0}^{\infty}}a_n\) an heißt \((B,\alpha)\)-summierbar zum Wert \(s\) für ein \(\alpha > 0\), wenn \[ A_\alpha(t)={\sum\limits_{n=0}^{\infty}}\frac{a_n}{\varGamma(\alpha n+1)} t^{\alpha n} \tag{1} \] beständig konvergiert und \[ {\int\limits_{0}^{\infty}}e^{-t}A_\alpha(t)\,dt=s \tag{2} \] ist. Beziehungen zwischen verschiedenen \((B,\alpha)\)-Verfahren wurden von \textit{G. H. Hardy} (J. London math. Soc. 9 (1934), 153-157; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 176) und Verf. (Proc. Cam\-bridge philos. Soc. 38 (1942), 144-165; F. d. M. 68, 136 (JFM 68.0136.*)) untersucht. In der vor\-liegenden Note wendet Verf. das \((B,\alpha)\)-Verfahren auf die Reihe \[ 1 - 1! + 2! - 3!+ -\cdots \tag{3} \] an und zeigt, daß diese \((B,\alpha)\)-summierbar ist für \(1<\alpha\leqq3\), jedoch nicht für \(\alpha>3\). Im letzteren Fall konvergiert zwar die Reihe (1) für alle \(t\), jedoch nicht das Inte\-gral (2). Zum Beweis werden Satze von \textit{E. M. Wright} (J. London math. Soc. 10 (1935), 286-293; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 407) über die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion herangezogen.