Inequalities for harmonic polynomials in two and three dimensions. (Q2585281)

Die Arbeit beschäftigt sich mit harmonischen Polynomen von zwei und drei Veränderlichen, d.h. Polynomen \(u(x,y)\) bzw. \(u(x,y,z)\), welche der Laplaceschen Differentialgleichung \(u_{xx} + u_{yy} = 0\) bzw. \(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0\) genügen. Sie zer\-fällt entsprechend in zwei Teile: I. Der erste Teil der Arbeit verfolgt das Ziel, in einheitlicher Weise eine Reihe von Ungleichungen für harmonische Polynome von zwei Veränderlichen abzuleiten, die zum Teil bekannte Sätze verallgemeinern bzw. verschärfen. Zugrunde gelegt werden harmonische Polynome \(u(x,y)\) vom Grade \(n\geqq1\) mit reellen Koeffizienten. Nach Einführung von Polarkoordinaten \(r\), \(\varPhi\) erhält ein derartiges Polynom die Form \[ U (r,\varPhi) =a_0 + 2{\sum_{m=1}^{n}}r^m(a_m \cos m\varPhi + b_m \sin m\varPhi) \] (\(a_m\), \(b_m\) reell). Das zu \(U (r, \varPhi)\) konjugierte Polynom werde jeweils mit \[ V(r,\varPhi) = 2{\sum_{m=1}^{n}}r^m(- b_m \cos m\varPhi + a_m \sin m\varPhi) \] bezeichnet. Ferner werde zur Abkürzung \(U(1,\varPhi)= U (\varPhi)\), \(V (1,\varPhi)=V (\varPhi)\) ge\-setzt. Endlich werde unter \(K_n\) bzw. \(L_n\) die Klasse der trigonometrischen Polynome \(U (\varPhi)\) vom Grade \(n\) verstanden, welche für ganzes \(\nu\) mit \(0\leqq\nu\leqq 2n-1\) den Un\-gleichungen \[ \bigg|U\left(\dfrac{\nu\pi}{n}\right)\bigg|\leqq1\quad\text{bzw.}\quad U\left(\dfrac{\nu\pi}{n}\right)\geqq0 \] genügen. 1) Die Grundlage für alle Betrachtungen bildet die folgende Interpolations\-formel (von der bisher nur Spezialfälle bekannt waren): Es seien \(\lambda_0, \mu_0, \lambda_1, \mu_1,\dots, \lambda_n, \mu_n\) beliebige reelle Zahlen mit \(\mu_0=\mu_n= 0\), und es sei \[ g(\varPhi) = 2 \sideset{}{^\prime} \sum_{m=0}^{n} (\lambda_{n-m}\cos m\varPhi - \mu_{n-m} \sin m\varPhi) \] (wo \(\sideset{}{^\prime} \sum\) bedeutet, daß die Glieder für \(m = 0\) und \(m = n\) mit dem Faktor \(\frac12\) zu versehen sind). Bildet man dann für die Koeffizienten \(a_m\), \(b_m\) eines trigonometrischen Poly\-noms \(n\)-ter Ordnung \(U(\varPhi)\) die Größe \[ G = \lambda_0a_0 + 2{\sum_{m=1}^{n}}(\lambda_ma_m +\mu_mb_m), \] so läßt sich dieselbe darstellen in der Form \[ G=\frac1{2n}{\sum_{\nu=0}^{2n-1}}(-1)^\nu g\left(\dfrac{\nu\pi}{n}\right)U\left(\dfrac{\nu\pi}{n}\right). \] 2) Aus dieser Interpolationsformel fließen unmittelbar die beiden Sätze: (A) Ge\-nügen die \(\lambda_m\), \(\mu_m\) der Bezieliung \[ g\left(\dfrac{\nu\pi}{n}\right)\geqq0\qquad(0\leqq\nu\leqq2n-1), \tag{1} \] so gilt für jedes \(U(\varPhi)\) aus \(K_n\) die Abschätzung \[ |G|\leqq\lambda_n. \tag{2} \] (B) Ist die Beziehung \[ (-1)^\nu g\left(\dfrac{\nu\pi}{n}\right)\geqq0\qquad(0\leqq\nu\leqq2n-1) \tag{3} \] erfüllt, so gilt für jedes \(U(\varPhi)\) aus \(L_n\) \[ G\geqq0. \tag{4} \] Falls (1) bzw. (3) nicht für alle genannten \(\nu\) erfüllt ist, so gibt es mindestens ein \(U(K)\) aus \(R_n\) bzw. \(L_n\), für das (2) bzw. (4) nicht besteht. Die beiden Sätze (A) und (B) sind ``dual'' im folgenden Sinne: Ist das System der \(\lambda_m\), \(\mu_m\) so beschaffen, daß \(g_1(\varPhi) = 2\sideset{}{^\prime} \sum (\lambda_{n-m} \cos m\varPhi-\mu_{m-n}\sin m\varPhi)\) der Ungleichung (1) genügt, so ist das System der \(\lambda_m'=\lambda_{n-m}\), \(\mu_m'=\mu_{n-m}\) so beschaffen, daß \(g_2(\varPhi) = 2\sideset{}{^\prime}\sum (\lambda_{n-m}' \cos m\varPhi-\mu_{m-n}'\sin m\varPhi)\) der Ungleichung (3) genügt. Läßt sich daher für \(\{\lambda_m,\mu_m\}\) der Satz (\(A\)) auf Polynome aus \(K_n\) anwenden, so läßt sich für \(\{\lambda_m,\mu_m'\}\) der Satz (\(B\)) auf Polynome aus \(L_n\) anwenden; ebenso umgekehrt. 3) Den beiden vorstehenden Sätzen lassen sich nun mühelos verschiedene Ab\-schätzungen über harmonische Polynome entnehmen. U. a. wird gezeigt: (a) Es sei \(U(r,\varPhi)\) ein harmonisches Polynom \(n\)-ten Grades. Gehört \(U(\varPhi)\) zur Klasse \(K_n\), so gilt für \(R>1\) bei beliebigem \(\varDelta\) aus \(-1\leqq\delta\leqq+1\) die Abschätzung \[ \bigg|U\left(R,\dfrac{\nu\pi}{n}\right)+\delta R^n U\left(R^{-1},\dfrac{\nu\pi}{n}\right)\bigg|\leqq R^n+\delta\qquad (0\leqq\nu\leqq 2n-1). \tag{5} \] Ist genauer \(| U (\varPhi) |\leqq1\) bei beliebigem reellem \(\varPhi\), so gilt für \(R > 1\) und \(\delta\) aus \(-1\leqq\delta\leqq+1\) die Abschätzung \[ | U (R, \varPhi) + \delta R^n(R^{-1},\varPhi)|\leqq R^n+\delta\quad (\varPhi\text{ beliebig reell}). \tag{6} \] Dabei läßt sich jeweils für \(\delta=\pm1\) das Eintreten des Gleichheitszeichens genau be\-stimmen. Ferner bestehen auch die entsprechenden ``dualen'' Aussagen. -- (b) Ge\-hört \(U(\varPhi)\) zur Klasse \(K_n\), so gilt \(\bigg|U'\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)\bigg|\leqq n\), wobei Gleichheit nur für \(U(\varPhi) =\pm\cos n\varPhi+ c \sin n\varPhi\) mit reellem \(c\) eintritt. Hieraus folgt die bekannte Bernsteinsche Ungleichung. 4) Weitere Folgerungen aus den unter 2) geschilderten Sätzen beziehen sich auf den ``Gradientensatz'' und seine Verallgemeinerung. Angeführt seien nur einige Resultate: (a) Nach \textit{G. Szegö} (Schr. Königsberger gel. Ges., naturw. Abt. 5 (1928), 59-70; F. d. M. 54, 311 (JFM 54.0311.*)) weiß man: Ist \(U(r,\varPhi)\) ein harmonisches Polynom \(n\)-ten Grades mit \(|U(r,\varPhi)|\leqq1\) in \(r\leqq1\), so gilt \[ | \operatorname{grad} U (r, \varPhi)|\leqq n\quad\text{in}\quad r\leqq1 \] (Gradientensatz). Genauer gilt unter den genannten Voraussetzungen \[ | \operatorname{grad} U (r, \varPhi)| + n|\sigma_n (r,\varPhi)|\leqq n \quad\text{in}\quad r\leqq1, \tag{7} \] wo \(\sigma_n(r,\varPhi)\) das \(n\)-te Cesàrosche Mittel 1. Ordnung von \(U(r,\varPhi)\) bedeutet (Verall\-gemeinerter Gradientensatz). Diese Abschätzung wird über die für jedes reelle \(\alpha\) geltende Beziehung \[ \bigg|\cos\alpha U_r\left(1,\dfrac{\alpha}{n}\right)+ \sin\alpha V_r\left(1,\dfrac{\alpha}{n}\right)+ n\sigma_n\left(1,\dfrac{\alpha}{n}\right)\bigg|\leqq n \tag{8} \] aus Satz (A) gewonnen, wobei zugleich das Eintreten des Gleichheitszeichens be\-stimmt wird. -- (b) Als neue Verallgemeinerung des Gradientensatzes wird bewiesen: Es sei \(U(r,\varPhi)\) ein harmonisches Polynom \(n\)-ten Grades. Gehört \(U(\varPhi)\) zu \(K_n\), so gilt für \(p>q\geqq0\), \(p+q\geqq2\) bei reellem \(\alpha\) \[ \begin{multlined} \bigg|\cos\alpha\bigg\{U\left(p,\dfrac{\alpha}{n}\right)U\left(q,\dfrac{\alpha}{n}\right)\bigg\}+ \sin\alpha\bigg\{V\left(p,\dfrac{\alpha}{n}\right)V\left(q,\dfrac{\alpha}{n}\right)\bigg\}\bigg| \\ +\bigg|p^nU\left(p^{-1},\dfrac{\alpha}{n}\right)q^nU\left(q^{-1},\dfrac{\alpha}{n}\right)\bigg|\leqq p^n-q^n. \end{multlined} \tag{9} \] Ist genauer \(|U(\varPhi)|\leqq1\) bei beliebigem reellem \(\varPhi\), so gilt für \(p>q\geqq0\), \(p+q\geqq2\) mit jedem \(\varPhi\) \[ \begin{multlined} [\{U(p,\varPhi) -U(q,\varPhi)\}^2 + \{V (p,\varPhi) -V(q,\varPhi)\}^2]^{\frac12} \\ + |p^nU (p^{-1},\varPhi) - q^nU(q^{-1},\varPhi) |\leqq p^n-q^n. \end{multlined} \tag{10} \] Das Eintreten des Gleichheitszeichens läßt sich jeweils genau bestimmen. Als Grenz\-fall \(p\to1\), \(q\to1\) fließen aus diesen Resultaten die Abschätzungen (8) und (7), die erste in leicht verallgemeinerter Form. -- (c) Die Beziehungen (9) und (10) be\-sitzen wieder jeweils ein ``duales'' Gegenstück. Daraus fließt speziell für \(p\to1\), \(q\to1\) der folgende, zum verallgemeinerten Gradientensatz duale Satz: Ist \(U (r,\varPhi)\) ein harmonisches Polynom \(n\)-ten Grades mit \(U(\varPhi)\geqq0\), so gilt in \(r\leqq1\) \[ |\operatorname{grad} U (r, \varPhi)|\leqq n\sigma_n(r,\varPhi); \] das Eintreten der Gleichheit läßt sich genau bestimmen. -- (d) Weitere, an das Vorhergehende anschließende Resultate beziehen sich auf Polynome einer komplexen Veränderlichen. Endlich wird gezeigt, daß der klassische Satz von Markoff eine ein\-fache Folge des Gradientensatzes darstellt. II. Das Hauptziel des zweiten Teils der Arbeit ist der Beweis einer Abschätzung für harmonische Polynome von drei Veränderlichen, die der Abschätzung I (6) mit \(\delta=0\) entspricht. Sie besagt: Ist \(u(x, y, z)\) ein harmonisches Polynom \(n\)-ten Grades (\(n\geqq1\)), für das \[ |u (x, y, z)|\leqq1\quad\text{in}\quad x^2 +y^2 +z^2\leqq1 \tag{11} \] gilt, so besteht für \(x^2 +y^2 +z^2=R^2>1\) die Ungleichung \[ |u(x,y,z)|\leqq c_n(R) \tag{12} \] mit \[ \begin{multlined} c_n(R)=\frac12\cdot\frac{2\cdot4\cdots2n}{3\cdot5\cdots(2n+1)} \bigg\{(2n+1)R^n+(2n-3)\frac{n^2-(n+1)^2}{n^2-(n-2)^2}R^{n-2}\\ +(2n-7)\frac{n^2-(n+1)^2}{n^2-(n-2)^2}\cdot \frac{n^2-(n-1)^2}{n^2-(n-4)^2}R^{n-4}+\cdots\bigg\}. \end{multlined} \] Das Eintreten der Gleichheit läßt sich genau bestimmen. Im Verlaufe des Beweises wird für die Folge der Funktionen \(c_n(R)\) eine er\-zeugende Funktion angegeben und aus ihr durch funktionentheoretische Über\-legungen eine Integraldarstellung für \(c_n(R)\) gewonnen. Ihr entnimmt man, daß \(c_n(R)\) für \(R>1\) die asymptotische Darstellung \[ c_n(R)\simeq\tfrac12\sqrt{\pi(1-R^{-2})n}R^n\quad\text{für}\quad n\to\infty \] zuläßt. Dieses Resultat zeigt insofern einen Unterschied gegenüber dem zweidimen\-sionalen Fall, als dort nach (6) einfach \(R^n\) an die Stelle von \(c_n(R)\) tritt. Weiter liefern die Untersuchungen für ein der Bedingung (11) genügendes harmonisches Polynom \(n\)-ten Grades \(u (x, y, z)\) längs der Einheitskugel \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) die folgenden Abschätzungen der 1. und 2. Ableitung in Richtung des Kugelradius: \[ \bigg|\dfrac{\partial u}{\partial r}\bigg|\leqq c_n'(1),\quad \bigg|\dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2}\bigg|\leqq\tfrac12 c_n^{\prime\prime}(1). \] Auch bei diesen Beziehungen, von denen die zweite neu ist, läßt sich das Eintreten der Gleichheit bestimmen. III. Die Arbeit schließt mit einem Anhang: Der erste Teil desselben bezieht sich auf die Verallgemeinerung des in II behandelten Problems auf harmonische Polynome in einem beliebigen euklidischen Raum. Der zweite Teil, der nur in losem Zusammenhang mit der übrigen Arbeit steht, liefert einen Beitrag zu einem kürzlich von \textit{W. E. Sewell} (Amer. math. Monthly 44 (1937), 577-578; F. d. M. \(63_{\text{II}}\), 317) behandelten Extremumproblem.