Notes on special systems of orthogonal functions. IV. The orthogonal functions of Whittaker's cardinal series. (Q2585288)

Die in den von Whittaker betrachteten ``Kardinalreihen'' \[ \frac{\sin\pi x}\pi{\sum\limits_{-\infty}^{\infty}}(-1)^n \frac{f(n)}{x-n} \] vorkommenden Funktionen \[ \psi_n(x)=\frac{(-1)^n}\pi\frac{\sin\pi x}{x-n} \] bilden ein normiertes Orthogonalsystem. Die Entwickelbarkeit einer Funktion \(f (x)\) aus \(L^2\) nach den \(\psi_n\) wird durch die allgemeine Theorie beherrscht. Verf. betrachtet nun andere Funktionsklassen, z. B. \[ M:\quad{\int\limits_{-\infty}^{\infty}}\frac{|f(x)|}{2+|x|}\,dx<\infty,\qquad M^*:\quad{\int\limits_{-\infty}^{\infty}}\frac {|f(x)|\log(2+|x|)}{2+|x|}\,dx<\infty \] und beweist: Wenn \(f (x)\) zu \(M^*\) gehört, so konvergiert die Fourierreihe von \(f (x)\) hinsichtlich der \(\psi_n\) gegen \[ F(x)=\frac1\pi{\int\limits_{-\infty}^{\infty}}\frac{\sin\pi(y-x)}{y-x}f(y)\,dy, \] und zwar gleichmäßig in jedem endlichen Intervall. Wenn \(f(x)\) zu \(M\) gehört, so ist die Reihe in jedem endlichen Intervall gleich\-mäßig summierbar \((C,1)\) zum Werte \(F(x)\). Mit \(B\) werde die Unterklasse von \(M\) bezeichnet, für die \(F=f\) ausfällt. Wenn \(f\) zu \(B\) gehört, so ist \[ f(x)=\frac1{2\pi}{\int\limits_{-\pi}^{\pi}}e^{ixt}dG(t) \quad\text{mit}\quad G(x)=i{\int\limits_{-\infty}^{\infty}}\frac{e^{-ixt}-1}tf(t)\,dt; \tag{*} \] \(G (x)\) ist außerhalb \((-\pi,\pi)\) konstant. -- Hat \(f (x)\) die Gestalt (*) mit stetigem \(G\) (ohne daß \(f\) zu \(M\) zu gehören braucht), so ist \[ f (x) =\frac1\pi{\int\limits_{-\infty}^{\infty}} \frac{\sin\pi(y-x)}{y-x}f(y)\, dy\quad (C, 1). \] Die Gleichung (*) ist eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Kardinalreihe gegen \(f (x)\) für alle \(x\), wenn \(f (x)\) zu \(M^*\) gehört; und für die Summabili\-tät \((C,1),\) wenn \(f (x)\) zu \(M\) gehört. (Teil III, Proc. Cambridge philos. Soc. 36 (1940), 1-8; F. d. M. 66, 524 (JFM 66.0524.*).)