Les fonctions asymptotiquement presque-périodiques. (Q2585292)

Eine auf der Halbachse \(\alpha\leqq x\) stetige Funktion \(f(x)\) heißt asymptotisch fast\-periodisch (a. fp.), wenn sie als Summe einer fastperiodischen (fp.) Funktion \(p(x)\) und einer Funktion \(\omega(x)\) mit \({\lim\limits_{x\to\infty}}\omega(x) = 0\) dargestellt werden kann. Diese Darstel\-lung ist dann eindeutig bestimmt. Eine solche Funktion besitzt einen Mittelwert \(M [f] ={\lim\limits_{L\to\infty}}\dfrac1L{\int\limits_{0}^{L}}f(x)\,dx\), der dem Mittelwerte des fp. Anteils \(p(x)\) von \(f(x)\) gleich ist. Äquivalente Definitionen einer a. fp. Funktion: a) \(f(x)\) ist a. fp., wenn es zu jedem \(\varepsilon>0\) ein \(l > 0\) und ein \(B\) derart gibt, daß jedes Intervall \(a\leqq x\leqq a+l\) (\(a>0\)) eine Zahl \(\tau\) enthält, für die \[ |f(x+\tau)-f(x)|<\varepsilon\quad\text{für}\quad x\geqq B \] gilt; b) \(f(x)\) ist a. fp., wenn aus jeder Folge \(h_n\) reeller Zahlen mit \({\lim\limits_{n\to\infty}}h_n = \infty\) eine Teilfolge \(k_n\) derart ausgewählt werden kann, daß \(f (x +k_n)\) gleichmäßig konvergiert. Es werden einige Eigenschaften der a. fp. Funktionen hergeleitet, die analog zu den entsprechenden Eigenschaften der fp. Funktionen sind. Endlich werden auch a. fp. Funktionen betrachtet, deren Werte nicht komplexe Zahlen, sondern Vektoren in einem endlichdimensionalen Raume sind.