Generalizzazione di una formula asintotica sui polinomi di Laguerre e sue applicazioni. (Q2585297)

Verf. beginnt mit einer numerischen Prüfung des 1. Gliedes einer von \textit{Moecklin} (Comment. math. Helvetici 7 (1934), 24-46; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 300) aufgestellten asympto\-tischen Entwicklung für die gewöhnlichen Laguerreschen Polynome \(L_n(t)\) (\(t\) reell), die zeigt, daß die erhaltenen Werte, verglichen mit den aus den Rekursionsformeln gewonnenen, schon für \(n = 10\) sehr gut sind. Er überträgt dann die asymptotische Darstellung mit gleicher Methode (Sattelpunkte) auf die allgemeinen Poly\-nome \(L_n^{(\alpha)}(t)\) (\(\alpha\) reell), wobei er sich auf das erste Glied beschränkt und sich hin\-sichtlich der Restabschätzungen auf die Moecklinsche Arbeit berufen kann. Es wird für \(n\to\infty\) und \(0<\frac12\sqrt{t/n}=\sin\vartheta<1\) \[ L_n^{(\alpha)}(t)\simeq\frac{e^{t/2}}{\sqrt{\pi n\sin2\vartheta}(2\sin\vartheta)^\alpha}\cos\bigg[ n(2\vartheta+\sin2\vartheta)+(1+\alpha)\vartheta-(1+2\alpha)\frac\pi4\bigg]. \tag{1} \] Für \(\alpha=\pm\frac12\) entstehen die entsprechenden Formeln für Hermitesche Polynome. Durch Nullsetzen der periodischen Funktion in (1) (Nullstellen \(\vartheta_{n,k}^{(\alpha)}\), \(k = 1\), 2,\dots, \(n\)) erhält man die (mutmaßlichen) Näherungswerte für die Wurzeln von \(L_n^{(\alpha)}(t) = 0\) \[ \lambda_{n,k}^{(\alpha)}\approx4n\sin^2\vartheta_{n,k}^{(\alpha)}\quad \left(-1<\alpha<\dfrac{5}{2}\right), \tag{2} \] wobei freilich nicht präzisiert wird (etwa durch eine Restabschätzung oder Angabe der Größenordnung des Fehlers), in welchem Sinne die Näherung gelten soll. Jeden\-falls gilt, wie bemerkt wird, (2) \textit{nicht} im Sinne asymptotischer Gleichheit für \(n\to\infty\) bei festem \(k\) \(\big(\)Anordnung: \(\lambda_{n,k}^{(\alpha)}<\lambda_{n,k+1}^{(\alpha)}\big)\); vielmehr besteht dann die asymptotische Darstellung \(\big(j_k^{(\alpha)}\) \(k\)-te positive Nullstelle der Besselschen Funktion \(J_\alpha(x)\big)\) \[ \lambda_{n,k}^{(\alpha)}\simeq\frac{j_k^{(\alpha)}}{4n}; \tag{3} \] das erklärt sich daraus, daß für festes \(k\) die \(k\)-te Nullstelle mit \(\dfrac1n\) gegen Null geht, und bei Null die Darstellung (1) nicht mehr notwendig gleichmäßig gültig ist. Doch dürfte (2) asymptotisch richtig sein für \(n\to\infty\), \(k\to\infty\) in \(\sigma n < k<n\), \(\sigma\) fest, \(0<\sigma<1\) (Ref.). Wie Ref. ferner beifügen möchte, entspricht (3) dem ersten Glied einer von ihm in einer älteren, im Text nicht erwähnten Arbeit (Math. Z. 43 (1938), 533-552 (F. d. M. \(64_{\text{I}}\), 264), insbesondere (15) S. 541) angegebenen, kon\-vergenten und asymptotischen Reihenentwicklung für die fraglichen Nullstellen, sowie allgemeiner für die in \(x=0\), \(y = 0\) mündenden Nullgebilde der Kummerschen Reihe \({}_1F_1\left(-\dfrac{1}{x},\alpha+1,y\right)\) (\(x\), \(y\), \(\alpha\) komplex), die für \(x = 1/n\) im wesentlichen die hier ausschließlich betrachteten Polynome \(L_n^{(\alpha)}(y)\) liefert. -Der Rest der Arbeit ist in der Hauptsache numerischen Experimenten gewidmet, wobei Näherungs\-ansätze gemacht werden, aber die dabei gemachten Fehler bzw. deren Fortpflanzung bei der Rechnung nicht exakt abgeschätzt, sondern durch Vergleich der Ergebnisse bei verschiedenen derartigen Verfahren beurteilt werden. Es handelt sich dabei um die \textit{größte} Nullstelle sowie um eine vermutliche Verbesserung der asymptotischen Formel durch Einführung zweier Parameter, die so bestimmt werden, daß die er\-haltene Funktion an zwei Stellen mit der gewünschten genau übereinstimmt. Zum Schluß Tafel von Werten der Funktion \(e^{-\tfrac t2}L_n(t)\) für \(n\leqq10\), \(0 < t\leqq 34\).