Some converses of Fabry's theorem. (Q2585311)

Unter \[ f (z) = c_0 + c_1z +c_2z^2+\cdots+c_nz^n+\cdots \tag{1} \] werde ein Funktionselement vom Konvergenzradius 1 verstanden. Dann besagt ein bekannter Satz von Fabry: Gilt die Limesbeziehung \[ {\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{c_n}{c_{n+1}}=1, \tag{2} \] so ist \(z=1\) singulärer Punkt von \(f(z)\). Für diesen Satz sind verschiedentlich Umkehrungen angegeben worden, die unter geeigneten Voraussetzungen über Lage und Charakter der auf \(|z|=1\) vor\-handenen Singularitäten von \(f(z)\) auf das Bestehen der Limesbeziehung (2) schließen lassen. (Vgl. \textit{G. Darboux}, J. Math. pur. appl., Paris, (3) 4 (1878), 5-57; F. d. M. 10, 279 (JFM 10.0279.*); \textit{J. Hadamard}, J. Math. pur. appl., Paris, (4) 8 (1892), 101-186; F. d. M. 24, 359; \textit{R. Jungen}, Comment. math. Helvetici 3 (1931), 266-306; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 373; \textit{J. M. Whittaker, R. Wilson}, J. London math. Soc. 14 (1939), 202-208; F. d. M. 65, 310 (JFM 65.0310.*)). In Analogie zu der von \textit{G. Pólya} (Ann. Math., Princeton, (2) 34 (1933), 731-777; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 319) herrührenden Umkehrung von Lückensätzen wird in der vor\-liegenden Arbeit eine neue Umkehrung des Fabryschen Satzes bewiesen, die wesent\-lich von einer Klassifizierung der auf dem Konvergenzkreis \(|z|=1\) gelegenen Singularitäten von \(f(z)\) nach der ``Größe'' des Regularitätsgebiets in der Umgebung der Singularität Gebrauch macht: Ist \(z=1\) singulärer Punkt von \(f(z)\) und \(f(z)\) in der Umgebung von \(z=1\) in einem ganzen Winkelraum \(-\alpha<\arg(1-z)<\alpha\) mit \(\alpha>\frac12\pi\) regulär, so heißt diese Singularität nach Pólya ``gut zugänglich'' (easily approachable), wenn \(\alpha=\pi\) gewählt werden kann genauer ``fast isoliert'' (almost isolated). Verf. er\-gänzen diese Klassifizierung durch die Festsetzung, für \(\alpha>\pi\) soll die Singularität ``virtuell isoliert'' (virtually isolated) heißen. Unter Verwendung dieser Bezeich\-nungen läßt sich ihr Hauptresultat folgendermaßen aussprechen: Ist \(z=1\) der einzige singuläre Punkt von \(f(z)\) auf dem Konvergenzkreis \(|z|=1\), so gilt bei beliebig vorgegebenem \(\varepsilon>0\) die Ungleichung \[ \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}-1\right|<\varepsilon \] (a) für eine Folge von Indizes \(n\) von der Maximaldichte 1; genauer (b) für eine Folge von Indizes \(n\) von der oberen Dichte 1, wenn die Singularität gut zugänglich ist; (c) für eine Folge von Indizes \(n\) von der Dichte 1, wenn die Singularität fast isoliert und von endlicher Ordnung ist oder wenn die Singularität virtuell iso\-liert ist. Für den hier neu in Betracht gezogenen Fall der virtuell isolierten Singu\-larität wird noch die entsprechende Erweiterung des genannten Pólyaschen Satzes bewiesen. Die Beweise beruhen auf einer Interpolation der Koeffizienten \(c_n\) durch eine in einem Winkelraum reguläre Funktion und anschließende Anwendung der allgemeinen Theorie der in einem Winkelraum regulären Funktionen (vgl. dazu \textit{M. L. Cartwright}, Proc. London math. Soc. (2) 38 (1934), 158-179 (F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 282) sowie eine in den Proc. London math. Soc. erscheinende Arbeit der Verf.).