Riemann sums and the fundamental polynomials of Lagrange interpolation. (Q2585313)

Sei \(C\) eine Jordankurve und \(z = \varphi (w) = cw + c_0+\dfrac{c_1}w+\cdots\) eine analytische Funktion, welche das Gebiet \(|w|>1\) auf das Äußere \(K\) von \(C\) eineindeutig und konform abbildet. Ist \(\omega_n(z)={\prod\limits_{k=1}^{n}}[z-\varphi(e^{2\pi ik/n})]\), (\(n = 1\), 2, \(\ldots\)), so ist bekanntlich (\textit{Fejér}, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, math.-phys. Kl. 1918, 319-331; F. d. M. 46, 517 (JFM 46.0517.*)) \[ {\lim\limits_{n\to\infty}}|\omega_n(z)|^{\tfrac1n}= \begin{cases} |c|\,|w|,&z=\varphi(w),\;\;z\text{ in }K,\\ |c|,&z\text{ innerhalb }C. \end{cases} \] Verf. beweist nun folgendes über das exakte Verhalten von \(\omega_n(z)\) für \(n\to\infty\). Ist \(C\) rektifizierbar, so ist \({\lim\limits_{n\to\infty}}\dfrac{\omega_n(z)}{-c^n}=1\) gleichmäßig in jedem abgeschlossenen inneren Gebiet von \(C\) und (1) \({\lim\limits_{n\to\infty}}\dfrac{\omega_n(z)}{c^n(w^n-1)}=1\) gleichmäßig in jedem abgeschlos\-senen Teilgebiet von \(K\). Ist \(\varphi'(w)\neq0\) und von beschränkter Schwankung auf \(| w | = 1\), so gilt (1) gleichmäßig im Gebiet \(C + K\). Verf. hat die Resultate schon früher (Trans. Amer. math. Soc. 38 (1935), 458-473; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 321) unter engeren Voraussetzungen über \(C\) bewiesen. Der Beweis wird unter Benutzung einiger Hilfs\-sätze über den Konvergenzgrad von gewissen Riemannschen Summen ausgeführt.