A minimum problem in the theory of analytic functions. (Q2585315)

Anknüpfend an Untersuchungen von \textit{F. Riesz} (Acta math., Stockholm, 42 (1920), 145-171; F. d. M. 47, 272 (JFM 47.0272.*)) und \textit{S. Kakeya} (Proc. phys.-math. Soc. Japan (3) 3 (1921), 48-58) behandelt Verf. das folgende Minimumproblem: Es soll für eine längs des Einheitskreises \(|z|=1\) erklärte komplexe, im Lebesgueschen Sinne inte\-grable Funktion \(f(z)\) das Integral \[ {\int\limits_{|z|=1}}|f(z)-p(z)|\,|dz| \tag{1} \] zum Minimum gemacht werden, wobei \(p (z)\) die längs \(|z|=1\) erklärten komplexen, im Lebesgueschen Sinne integrablen Funktionen vorn Potenzreihentypus durch\-läuft. (Dabei heißt \(p(z)\) eine Funktion vom ``Potenzreihentypus'', wenn für ihre Fourierreihe \[ f(z)\sim{\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}}a_nz^n\quad\text{mit}\quad a_n=\frac1{2\pi}{\int\limits_{0}^{2\pi}}f(e^{i\theta})e^{-ni\theta}\,d\theta \] die Koeffizienten \(a_{-1}, a_{-2},\dots\) verschwinden; eine Funktion dieser Art stimmt fast überall längs \(|z|=1\) mit der Randfunktion einer in \(|z|<1\) analytischen Funk\-tion überein.) Es wird gezeigt, daß bei vorgegebenem \(f(z)\) in der Tat eine (von den Punkten einer Nullmenge abgesehen) eindeutig bestimmte Funktion \(p(z)=g(z)\) existiert, die dem Integral (1) ein Minimum verleiht. Weiter wird die Klasse der ``Minimalfunktionen'' im Sinne des vorstehenden Problems untersucht, d. h. die Klasse der Funktionen \(h(z)\), welche sich als Diffe\-renz \(h (z)= f (z) - g (z)\) einer Funktion \(f(z)\) und der ihr entsprechenden Funktion \(g (z)\) darstellen lassen. Die Resultate des Verf. besagen: (1) Die Minimalfunktionen lassen sich charakterisieren als die Funktionen der Form \(h (z) = \dfrac{\sigma(z)}{zp(z)}\), wo \(p (z)\) eine Funk\-tion vom Potenzreihentypus bedeutet, deren Betrag längs \(|z|=1\) fast überall \(\leqq1\) ist, während \(\sigma(z)\) eine längs \(|z|=1\) nichtnegative integrable Funktion bedeutet, die fast überall verschwindet, wo \(| p(z) | < 1\) ist. -- (2) Hat \(f(z)\) speziell die Form \(f(z) = u(z)\Big/{\prod\limits_{j=1}^{n}}(z-\alpha_j)\) mit \(|\alpha_j| < 1\) für \(j = 1, 2,\dots, n\), wo \(u(z)\) vom Potenz\-reihentypus sein soll, so hat die zugehörige Minimalfunktion \(f (z) - g (z)\) die Form \(G (z)\Big/{\prod\limits_{j=1}^{n}}(z -\alpha_j)(1 -\overline{\alpha}_jz)\), wo \(G (z)\) ein durch \(f (z)\) eindeutig bestimmtes Polynom vom Grade \(\leqq2n - 2\) bedeutet. -- (3) Ist \(h (z) ={\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}a_nz^n\) eine im Kreisring \(\dfrac1K<|z|<K\) analytische Minimalfunktion und wird \(h_1(z) ={\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}\overline{a}_nz^{-n}\) gesetzt, so läßt sich \(h_1/h\) über die ganze Ebene analytisch fortsetzen; genauer ist \(h_1/h\) eine rationale Funktion, die in \(|z|<1\) keinen Pol besitzt, und die in \(z = 0\) eine zwei\-fache Nullstelle hat. Daraus lassen sich noch weitere Aussagen über den Verlauf von \(h (z)\), insbesondere über die Verteilung ihrer Nullstellen im Kreisring \(\dfrac1K<|z|<K\) entnehmen. Die Arbeit schließt mit Angaben über einige Modifikationen des hier behandelten Minimumproblems.