Extension of homeomorphisms into euclidean and Hilbert parallelotopes. (Q2585519)

Der Inhalt dieser Note besteht in der Aufstellung folgenden Satzes: Es seien \(A\) eine kompakte Menge in einem separablen metrischen Raum \(\mathfrak X\), \(n\) die Dimension von \(\mathfrak X-A\), \(y\) ein Punkt aus dem \(n\)-dimensionalen Würfel \(\mathfrak E_n\), \(f\) eine topologische Abbildung von \(A\) in den \((q+n)\)-dimensionalen Würfel \(\mathfrak Y=\mathfrak E^q\times \mathfrak E^n\). Gelten die Ungleichung \(q\geqq 1+\dim\mathfrak X\) und die Inklusion \(f(A)\subset\mathfrak E^q\times[y]\), so kann \(f\) zu einer topologischen Abbildung von \(\mathfrak X\) in \(\mathfrak Y\) erweitert werden. Dabei dürfen \(n\) und \(q\) den Wert \(\infty\) annehmen. Verf. ist von der \textit{Kuratowski}schen Arbeit (Fundam. Math., Warszawa, 28 (1937), 336-342; F.~d.~M. 63\(_{\text{II}}\), 1168) ausgegangen und hat den dort bewiesenen Satz von Menger-Nöbeling als Spezialfall (\(A=\boldsymbol0\)) des erwähnten Satzes aufgefaßt. Sein bündiger Beweis läuft dem Kuratowskischen parallel; wir begnügen uns hier, den Grundgedanken anzugeben: Es heißen \(\mathfrak F\) die Menge der stetigen (nicht notwendig eineindeutigen) Erweiterungen von \(f\) auf \(\mathfrak X\) in \(\mathfrak Y\) und (für zwei fremde abgeschlossene Mengen \(C_1\), \(C_2\) aus \(\mathfrak X\)) \(\mathfrak F_{C_1,C_2}\) die Menge der Transformationen \(g\) aus \(\mathfrak f\) für die \(\overline{g(C_1)}\cdot\overline{g(C_2)}=\boldsymbol0\) gilt. Es wird gezeigt, daß \(\mathfrak F_{C_1,C_2}\) dicht und offen in \(\mathfrak F\) ist, woraus folgt, daß die Menge \(\mathfrak H\) der topologischen Erweiterungen von \(f\) auf \(\mathfrak X\) in \(\mathfrak Y\) eine Residualmenge in dem vollständigen Raum \(\mathfrak F\), also nicht leer ist.