Kanonische Kettenschaltungen für Reaktanzvierpole mit vorgeschriebenen Betriebseigenschaften. (Q2585609)

Zum Unterschied von anderen denselben Gegenstand betreffenden Arbeiten (\textit{S.~Darlington}, J. Math. Physics, Massachusetts, 18 (1939), 257-352, insbesondere S.~282-286, infolge der Zeitumstände dem Verf. nicht bekannt; \textit{Cauer}, TFT. 29 (1940), 233-235) wird die Frage der Auffindung von realisierenden Kettenschaltungen als Funktion des Frequenzparameters \(\lambda=i\omega\) (\(\omega\) Kreisfrequenz) zu vorgeschriebenen Eigenschaften eines Reaktanzvierpoles (gegebener Kettenmatrix, d.~h. Koeffizientenmatrix der Eingangsspannung \(U_1\), Eingangsstrom \(I_1\) mit Ausgangsspannung \(U_2\) und Ausgangsstrom \(I_2\) verknüpfenden Gleichungen \(U_1=\mathfrak AU_2+\mathfrak BI_2\), \(I_1=\mathfrak CU_2+\mathfrak DI_2\)) ohne Beschränkung auf nur rein imaginäre Pole \(\lambda_\nu\) des Betriebsübertragungsfaktors \(S=\frac12(\mathfrak a+ \mathfrak b+\mathfrak c+\mathfrak d)\) \(\Bigg[\mathfrak a=\mathfrak A\sqrt{\dfrac{R_2}{R_1}}\), \(\mathfrak b=\dfrac{\mathfrak B}{\sqrt{R_1R_2}}\), \(\mathfrak c=\mathfrak C\sqrt{R_1R_2}\), \(\mathfrak d=\mathfrak D\sqrt{\dfrac{R_1}{R_2}}\), \(R_1\) Generator-, \(R_2\) Belastungswider\-stand\(\Bigg]\) und mit ausführlicher Beweisführung behandelt. Die ``kanonischen'' Kettenschaltungen stehen in engem Zusammenhang mit den von \textit{O.~Brune} untersuchten Zweipolkettenschaltungen (J. Math. Physics, Massachusetts, 10 (1931), 191). Die Pole von \(S\) in der abgeschlossenen rechten \(\lambda\)-Halbebene erweisen sich als nur durch die Kettenmatrix bestimmt und unabhängig von den Ohmschen Abschlußwiderständen \(R_1\), \(R_2\) (z.~B. \(R_1=R_2=1\)). Jedem solchen Pol bzw. Paar konjugiert komplexer Pole läßt sich ein Reaktanzvierpolglied so zuordnen, daß die Kettenschaltung aller Glieder, noch gegebenenfalls in Kette mit einem idealen Übertrager, die realisierbar gegebene Kettenmatrix \(M=\left\|\begin{matrix}\mathfrak A&\mathfrak B\\\mathfrak C&\mathfrak D \end{matrix}\right\|\) realisiert. Den Polen bei 0 und \(\infty\) werden Vierpolglieder mit je einer Spule oder einem Kondensator zugeordnet, Polpaaren bei rein imaginären \(\lambda\) ein Vierpolglied mit einem Schwingkreis aus Spule und Kondensator (singuläre Fälle) oder aber ebenso wie einem positiven Pol mit einer Spule mit zwei festgekoppelten Wicklungen und einem Kondensator, schließlich einem Paar konjugiert komplexer Pole mit positivem Realteil ein Vierpolglied mit zwei Spulen mit je zwei fest verkoppelten Wicklungen und zwei Kondensatoren (reguläre Fälle). Den Kettenschaltungen der Vierpolglieder mit den Kettenmatrizen \(M_1,\dots,M_n\) entspricht der Gesamtvierpol mit der Kettenmatrix \(M=M_1\cdots M_n\). Die mathematische Aufgabe besteht darin, die ``realisierbare'' Matrix \(M\) so in wieder realisierbare Faktoren \(M_\nu\) zu zerlegen, daß die den \(M_\nu\) zugeordneten \(S_\nu=\tfrac12(\mathfrak A_\nu +\mathfrak B_\nu+\mathfrak C_\nu+\mathfrak D_\nu)\) nur einen Pol bzw. nur ein Paar konjugiert komplexer Pole in der abgeschlossenen rechten \(\lambda\)-Halbebene besitzen. Für Realisierbarkeit durch einen Reaktanzvierpol mit endlich vielen Induktivitäten, Gegeninduktivitäten und Kapazitäten ist notwendig und hinreichend (vgl. die nachstehend besprochene Berichtigung des Verf.): \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak D\) sind gerade, \(\mathfrak B\) und \(\mathfrak C\) ungerade reelle rationale Funktionen von \(\lambda\), die der Bedingung \(\mathfrak A\mathfrak D-\mathfrak B\mathfrak C=1\) genügen; schreibt man die \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\), \(\mathfrak C\), \(\mathfrak D\) mit kleinstem gemeinschaftlichen (notwendig geraden oder ungeraden) reellen Nenner \(f\), so ist ihre halbe Zählersumme \(g\) ein Polynom mit nur Nullstellen im Innern der linken Halbebene. Verf. gelangt zu dem Ergebnis, daß man den Polen von \(S=\dfrac gf\) zugeordnete realisierbare Faktoren \(M\) im allgemeinen in beliebiger Reihenfolge der Pole links oder rechts von \(M\) abspalten kann. Nur beim Abbau von Faktoren mit imaginären Polen von \(S\) kann es im singulären Fall vorkommen, daß der Faktor links bzw. rechts abgebaut werden \textit{muß}. Sind keine zwei benachbarten Zählerpolynome vorhanden, die den dem abzuspaltenden Vierpolglied entsprechenden Faktor von \(f\) (Pol oder Polpaar von \(S\)) als gemeinsamen Teiler besitzen, bzw. haben keine zwei benachbarten Elemente von \(M\) Zählerpolynome mit kleinerem Grad als der Grad von \(g\), wenn es sich um den Pol \(\infty\) handelt, so wird von einem ``regulären'', sonst von einem ``singulären'' Fall hinsichtlich des betreffenden Pols oder Polpaares von \(S\) gesprochen (äquivalent zu der etwas abweichenden Formulierung des Verf.). Für den Beweis, daß der Restfaktor von \(M\) wieder realisierbar ist, wird der Hilfssatz benutzt: Ist \(V(\lambda)\) eine rationale Funktion, deren Realteil auf der imaginären Achse nirgends negativ ist und die dort höchstens einfache Pole mit positivem Residuum und Nullstellen nur gerader Ordnung besitzt, so liegen in der rechten und linken Halbebene jeweils gleichviel Pole und Nullstellen, wenn auf dem Rand die Pole zur linken Halbebene, die Nullstellen mit je halber Vielfachheit zur linken und zur rechten Halbebene gezählt werden.