Rileggendo la ``Geometria speciosa'' di Pietro Mengoli. (Q2585681)

Verf. hat über den noch vor drei Jahrzehnten fast unbekannten Cavalieri-Schüler \textit{Mengoli} (1626-1686) eine Reihe von Arbeiten geschrieben (die wichtigsten sind Periodico Mat. (4) 5 (1925); 18-30, 137-146; F.~d.~M. 51, 20). In der vorliegenden Studie gibt er eine gedrängte Übersicht über die Geometria speciosa, Bologna 1659. Mengoli bestimmt zunächst Ausdrücke der Form \(\sum\limits_{x=1}^{n-1} x^p(n-x)^q\) für ganze nicht negative \(n - 1\), \(p\), \(q\), sofern \(p + q \leqq 10\), schreitet fort zur Ungleichung \[ (n-1)^{p+q+1} < \frac{(p+q+1)!}{p!\,q!} \sum_{x=1}^{n-1} x^p(n-x)^q < (n+1)^{p+q+1}, \] geht nach Division mit \(n^{p+q+1}\) mittels \(p+q+1 \to \infty\) zur Grenze über und erhält die Formel \(\int\limits_{0}^{1}x^p(1-x)^q \,dx= \dfrac{p!\,q!}{(p+q+1)!}\), mittels deren er die Fläche und den Schwerpunkt des von der \(x\)-Achse und der Kurve \(y=x^p(1-x)^q\) begrenzten Ebenenstückes bestimmt. Durch Zusammenfassen seiner Ergebnisse erhält er schließlich \(\int\limits_{0}^{1}x^{p-1} \,dx=\int\limits_{0}^{1} \sum\limits_{q=0}^{\infty} x^p(1-x)^q \,dx=\sum\limits_{q=0}^{\infty} \dfrac{p!q!}{(p+q+1)!}= \dfrac{1}{p}\), wobei die einzelnen Grenzübergänge völlig einwandfrei und streng durchgeführt werden. Mengoli nimmt mit diesen nur wenig bekannt gewordenen Ergebnissen unter anderem Leibnizens Summierung der reziproken figurierten Zahlen (Ende 1672, mittels sukzessiver Differenzen) und Tschirnhausens Bestimmung der obigen Integrale vorweg, die dieser mittels seiner Methode der doppelten Integration (Winter 1677/78) auf Grund der Beziehung \(\int\limits_{0}^{1}x^{p+q} \,dx=\dfrac{(p+q)!}{p!\,q!} \int\limits_{0}^{1} x^p(1-x)^q \,dx\) geleistet hatte (Zusatz des Ref.).