On the possibility of definition by recursion. (Q2585747)

Beim Aufbau der Arithmetik auf Grund der Peanoschen Axiome werden gewöhnlich die speziellen arithmetischen Funktionen wie \(a + b\), \(ab\), \(a^b\) rekursiv definiert; daß aber solche Funktionen existieren, ist nicht besonders leicht aus den Peanoschen Axiomen herleitbar. Oft macht man hierzu einen Induktionsschluß, wobei aber die Kleinerrelation benutzt wird, und diese wird gewöhnlich wieder durch die Addition definiert, wodurch ein Zirkel entsteht. Eine Begründung ohne Anwendung der Kleinerrelation wurde kürzlich von \textit{P. Lorenzen} gegeben (Mh. Math. Physik 47 (1939), 356-358; F.~d.~M. 65, 31); er benutzt aber mehrwertige Funktionen. Im vorliegenden Aufsatz gibt Verf. eine neue Begründung ohne Anwendung sowohl mehrwertiger Funktionen wie der Kleinerrelation, wobei er sich der Einfachheit halber auf primitive Rekursionen beschränkt. Charakteristisch für seine Methode ist die Anwendung von Funktionen, die nicht für alle Argumentwerte definiert sind.