On extremal problems concerning determinants. (Q2585775)

Verf. berechnet die Quadratsumme \(S_n^k(+1, -1)\) derjenigen \(2^{n(n-k)}\) verschiedenen Determinanten \(n\)-ten Grades, deren Elemente nur die Werte \(\pm1\) besitzen, und deren \(k\) erste Zeilen vorgeschrieben sind. Er findet \[ S_n^k(+1,-1) = (n - k)! 2^{n(n-k)} | MM'|, \] wo \(M = (\varepsilon_{ij}) (i = 1, 2,\ldots, k; j = 1, 2,\ldots, n)\) die rechteckige Matrix der vorgeschriebenen Elemente bedeutet. Mit Hilfe dieser Formel gelangt er zu einer Abschätzung des Maximums der genannten Determinanten. Für die Quadratsumme \(S_n(a_1, a_2,\ldots, a_r)\) derjenigen \(r^{n^2}\) verschiedenen Determinanten \(n\)-ten Grades, deren Elemente nur die Werte \(a_1, a_2,\ldots, a_r\) besitzen, wird folgende Formel angegeben \[ S_n(a_1,a_2,\ldots, a_r) =n!\;r^{n(n-2)}\bigg[n\bigg(\sum_{\varrho=1}^r\bigg)^2 a_\varrho + \sum_{\varrho>\sigma}(a_\varrho-a_\sigma)^2\bigg] \bigg[\sum_{\varrho>\sigma}(a_\varrho-a_\sigma)^2\bigg]^{n-1}. \]