Factorization and signatures of Lorentz matrices. (Q2585801)

Unter Lorentztransformationen werden hier solche lineare Transformationen \(\overline{x} = Lx\) verstanden, welche die Form \((x, x) =x_1^2+ \cdots+ x_t^2- x^2_{t+1}-\cdots-x_n^2\) invariant lassen. Unter Spiegelungen werden die Lorentztransformationen \(\overline{x}= x - 2\dfrac{(v, x)}{(v,v)}v\) verstanden. In allen Körpern mit Charakteristik \(\neq2\) gilt: Jede Lorentztransformation ist Produkt von Spiegelungen. Ist die Matrix der Transformation \(L=\binom{AB}{CD}\), wobei \(A\) eine \(t\)-reihige, \(D\) eine \((n - t)\)-reihige Matrix ist, und definiert man im Falle eines angeordneten Körpers \[ \sigma_+(L)= \begin{cases} +1 \;\;\text{für}\;\;\;|A|>0,\\ -1 \;\;\text{für}\;\;\;|A|<0; \end{cases} \quad \sigma_-(L)= \begin{cases} +1 \;\;\text{für}\;\;\;|D|>0,\\ -1 \;\;\text{für}\;\;\;|D|<0; \end{cases} \] so gilt \(\sigma_+(L) \sigma_+(M) = \sigma_+(LM)\); \(\sigma_-(L) \sigma_- (M) =\sigma_-(LM)\) und \(|L| = \sigma_+(L)\sigma_-(L).\)