A generalization of Ostrowski's theorem on matric identities. (Q2585803)

Die angegebene Verallgemeinerung des in der Besprechung der Arbeit von \textit{Ostrowski} (Quart. J. Math. (Oxford Ser.) 9 (1938), 241-245; JFM 64.0044.*) formulierten Satzes liegt in Richtung der Arbeit des Verf. (Bull. Amer. math. Soc. 45 (1939), 280-284; F. d. M. 65, 88 (JFM 65.0088.*)). Wie dort wird das Ideal \(\mathfrak m\) der Polynome \(f(x_1, x_2,\ldots, x_m)\) des Ringes \(R\;[x_1, x_2,\ldots, x_m]\), \(R\) ein kommutativer Ring mit Einselement, gebildet, die die Kongruenz erfüllen \[ f(x_1, x_2,\ldots, x_m)\;F_{ij} (x_1, x_2,\ldots, x_m)\equiv 0\;(F(x_1, x_2,\ldots, x_m)\quad (i, j = 1,2,\ldots, n). \] Dabei sind \(F(x_1,x_2,\ldots,x_m)\) die Determinante, \(F_{ij}(x_1,x_2,\ldots, x_m)\) die \((n -1)\)-reihigen Unterdeterminanten der Matrix \(x_1A_1 + x_2A_2 + \cdots + x_mA_m, A_1= I\), \(A_2,\ldots,A_m\) \(n\)-reihige Matrizen mit Elementen aus \(R\). Dann gilt: 1) Aus \(f (x_1, x_2,\ldots, x_m) \subset \mathfrak m\) folgt für \(n\)-reihige kommutative Matrizen \(B_1, B_2,\ldots, B_m\) aus \(R\) mit \(A_1B_1 +A_2B_2+\cdots +A_mB_m = 0\) bereits \(f(B_1, B_2,\ldots, B_m) = 0\). 2) Gilt \(\varphi (B_1, B_2,\ldots, B_m) = 0\) für jedes System \(B_1, B_2,\ldots, B_m\) der angegebenen Eigenschaften, so folgt für das Polynom \(\varphi (x_1, x_2,\ldots, x_m)\) aus \(R[x_1, x_2,\ldots, x_m]\) stets \(\varphi(x_1, x_2\ldots, x_m) \subset \mathfrak m\).