Über die Reduktion positiver quadratischer Formen. (Q2585805)

Sei \(G_n\) die Gruppe der unimodularen ganzzahligen Substitutionen von \(n\) Veränderlichen \(x_1, x_2,\ldots, x_n\) und \(\mathfrak P\) der \(\dfrac{n(n+1)}{2}\)-dimensionale Raum der Koeffizienten \(a_{ij}\) der positiven quadratischen Formen \(f =\sum\limits _1^na_{ij}x_ix_j (a_{ij}=a_{ji})\). Das Problem der Reduktion der positiven Formen besteht in der Auffindung eines Fundamentalbereichs der Gruppe \(G_n\) in \(\mathfrak P\). \textit{H. Minkowski} [J. Reine Angew. Math. 129, 220--274 (1906; JFM 37.0251.02); abgedruckt in ``Gesammelte Abhandlungen'' 2, Leipzig und Berlin (1911; JFM 42.0023.03)] hat die Existenz eines Fundamentalbereichs von \(G_n\), der die Form einer linearen Pyramide in \(\mathfrak P\) mit endlich vielen Begrenzungsebenen hat, für jedes \(n\) nachgewiesen. In der vorliegenden Arbeit verallgemeinert Verf. die Minkowskische Pyramide, wobei er sich der von \textit{G. Voronoï} [J. Reine Angew. Math. 133, 97--156 (1907; JFM 38.0261.01)] eingeführten vollkommenen Formen bedient. Sei \(\varphi\) eine gegebene positive quadratische Form, \(\varPhi\) ihre Adjungierte. Die Matrix \(\varSigma\) durchlaufe die Gruppe \(G_n\). Unter Verwendung der Symbole \[ fS = f(p_{11}x_1 +\cdots+ p_{1n}x_n +\cdots ), \] wo \(S = (p_{ij})\) eine \(n\)-reihige quadratische Matrix ist, und \[ (f, \varphi ) = \varSigma a_{ij}b_{ij}, \] wo \(f =\varSigma a_{ij}x_ix_j\) und \(\varphi=\varSigma b_{ij}x_ix_j\), wird mit \(V(\varphi)\) die Menge der Formen \(f\) bezeichnet, die den Ungleichungen \[ (f,\varPhi) \leqq (f,\varPhi\varSigma) \] genügen. \(V (\varphi)\) ist der \(\varkappa\)-fache Fundamentalbereich der Gruppe \(G_n\), wo \(\varkappa\) die Anzahl der Automorphismen von \(\varphi\) ist. Er hat die Gestalt einer konvexen Pyramide in \(\mathfrak P\) mit einer endlichen Anzahl von Seiten. Für \(n \geqq 3\) hat die Menge der Fundamentalbereiche von \(G_n\) die Mächtigkeit eines Kontinuums.