Systeme symmetrischer Bilinearformen und euklidische Modelle der projektiven Räume. (Q2585807)

Ein System von \(n\) reellen symmetrischen Bilinearformen \(f^{(\nu)}(x,y) = \varSigma a_{jk}x_jy_k\) in den Unbestimmten \(x_1,\ldots, x_r, y_1,\ldots, y_r\) heißt definit, wenn das Gleichungssystem \(f^{(\nu)}(x, y) = 0, \nu=1,\ldots,n\) nur die triviale reelle Lösung \(x_j = y_k = 0\) besitzt. Die kleinste Zahl \(n\), für die es bei gegebenem \(r\) ein definites System von \(n\) Formen gibt, sei \(N(r)\). Es wird für \(r>2\) die Abschätzung (1) \(N (r) \ge r + 2\) bewiesen. Speziell ergibt sich daraus \(N(3) = 5\), \(N(4)= 6\). Letzteres besagt geometrisch: Im Raum gibt es zu je fünf reellen Flächen 2. Ordnung wenigstens ein reelles Punktepaar, das in bezug auf alle fünf Flächen konjugiert ist. Zum Beweis von (1) wird für ein definites System durch \(z_\nu(x) = \dfrac{f^{(\nu)}(x,x)}{\sqrt{\varSigma f^{(\mu)}(x,x)^2}}\) eine topologische Abbildung des projektiven \(P_{r-1}\), in die Sphäre \(S_{n-1}\) ausgeführt. Damit ist der Zusammenhang mit dem Problem der Einbettung eines \(P_r\) in einen Euklidischen Raum hergestellt. (1) ergibt sich aus folgendem Satz: \(D(k)\) sei die kleinste Dimension eines Euklidischen Raumes, in den sich \(P_k\) noch einbetten läßt. Dann gilt für \(k > 1\) \(D (k) \geqq k + 2\). Der Beweis dieses Satzes wird mit Hilfe der Gordonschen Verfeinerung des Alexanderschen Dualitätssatzes erbracht. Für die Dimensionszahlen \(k = 4 m - 1\) war der Satz schon von \textit{W. Hantzsche} [Math. Z. 43, 38--58 (1937; JFM 63.0556.02)] bewiesen worden. Bereits aus \(N (r) > r\) für \(r > 2\) ergibt sich als Anwendung, daß das assoziative Gesetz der Multiplikation für eine Algebra über dem Körper der reellen Zahlen aus dem distributiven und dem kommutativen Gesetz und der Nichtexistenz von Nullteilern folgt.