Analogo del triangolo di Tartaglia per le formule di Waring per due potenze. (Q2585825)

Bezeichnet man in der Formel von Waring \(S_n = \sum\limits_{_{\substack{ \beta=0\\ \alpha+2\beta=n}}}^{\big[\tfrac{n}2\big]} (-1)^\beta n \dfrac{(\alpha+\beta-1)!}{\alpha!\beta!} S^\alpha P^\beta\), wobei \(S_n=a^n+b^n\), \(S=a+b\), \(P = ab\) gesetzt ist, den absoluten Betrag des Koeffizienten von \(S^\alpha P^\beta\) mit \(N_{\alpha,\beta}\), so gilt die folgende Rekursionsformel \[ N_{\alpha+1,\beta} = N_{\alpha,\beta} + N_{\alpha+1,\beta-1} \] Ordnet man daher die Zahlen \(N_{\alpha, \beta}\) so in ein Schema, daß in einer Zeile die Koeffizienten stehen, für die \(\alpha + 2\beta\) denselben Wert hat, mit \(\alpha + 2\beta = 0\) beginnend, wobei \(N_{0,0} = 2\) zu setzen ist, und in einer und derselben Spalte alle Koeffizienten mit dem gleichen \(\beta\), von \(\beta = 0\) beginnend, so erscheint der Koeffizient der linken Seite der Rekursionsformel als Summe des darüberstehenden und des Koeffizienten der zweitvorhergehenden Zeile und vorhergehenden Spalte, wenn wir noch übereinkommen, nicht mehr in dem Schema vorkommende Koeffizienten als Null zu lesen. Daraus ergibt sich noch unmittelbar die Summe der Elemente einer Spalte bis zu einer bestimmten Zeile als Element der zweitnächsten Zeile und folgenden Spalte.