Di uno scaloide aritmetico. (Q2585827)

Bildet man ein Zahlenschema \(a_{r,s}, r\) Zeilenindex, \(s\) Spaltenindex, \(r = 0, 1, 2,\ldots\), \(s = 0, 1, 2,\ldots\) nach folgendem Gesetz: \(a_{0,0} = n\), \(a_{r,0} = 1\), \(r > 0\), \(a_{r,s} = 0\), wenn \(r < sn\), \(a_{r,s} = \sum\limits_{\nu=(s-1)n}^{r-n} a_{\nu,s-1}\), wenn \(r\geqq sn\), so gilt das unmittelbar zu bestätigende Gesetz \(a_{r,s} = a_{r-1,s}+ a_{r-n,s-1}\). Mit den Bezeichnungen \[ \sum{}_h =\sum_{\nu\geqq0} a_{h,\nu},\;\varDelta_h = \sum_{\nu\geqq0} (-1)^\nu a_{h,\nu} \] gelten \(\sum{}_h = \sum{}_{h-1} + \sum{}_{h-n}\), \(h\geqq n\), \(\varDelta_h = \varDelta_{h-1}-\varDelta_{h-n}\), \(h\geqq n\). Die Zahlen \(a_{r,s}, r>0\), \(s\geqq 0\), lassen sich in folgender Weise als Binomialkoeffizienten darstellen, \(a_{r,s} =\dbinom{r-(n-1)s}{\varepsilon} + (n - 1)\dbinom{r-(n-1)s-1}{s-1}\), wobei \(\dbinom{p}{q} = 0\) zu setzen ist, wenn \(q < 0\) oder wenn \(q = 0\), \(p < 0\). Für \(n =1\) erscheint als Spezialfall das Dreieck von Tartaglia (Pascalsches Dreieck), für \(n = 2\) das Schema der absoluten Beträge der Koeffizienten in der Waringschen Formel (siehe das vorhergehende Referat).