A set of polynomials. (Q2585834)

Wie in früheren Arbeiten (Duke math. J. 1 (1935), 137-168; 3 (1937), 503-517; 5 (1939), 941-947; JFM 61.0127.*; 63\(_{\text{II}}\), 879; 65,114) befaßt sich Verf. mit Polynomen über einem Galoisfeld \(\varGamma_n\) von \(p^n\) Elementen. Es bezeichne \[ M = M (x) = c_0x^m + c_1x^{m-1} + \cdots + c_m\quad (c_0 \neq 0) \] fin Polynom in einer Unbestimmten \(x\) mit Koeffizienten aus \(\varGamma_n\); \(m=\) Grad \(M\). Weiter sei mit einer anderen Unbestimmten \(t \psi_m(t) = \prod\limits_{\operatorname{Grad} M<n}(t-M)\), \(\psi_0(t)=t\), wo das Produkt über alle \(M\) von einem Grade kleiner als \(m\) einschließlich \(M = 0\) zu erstrecken ist. Es gilt (s. die erste d. o. zitierten Arbeiten) \(\psi_m(t)=\sum\limits_{i=1}^m (-1)^{m-1}\bigg[\begin{matrix} m\\ i\end{matrix}\bigg] i^{pni}\) mit \[ \bigg[\begin{matrix} m\\ i\end{matrix}\bigg] = F_m(F_i L^{p^{ni}}_{m-i})^{-1},\quad \bigg[\begin{matrix} m\\ 0\end{matrix}\bigg] = F_m L_m^{-1},\quad \bigg[\begin{matrix} m\\ m\end{matrix}\bigg] = 1 \] und \[ F_m = \prod_{\mu=1}^m [\mu]^{p^{n(m-\mu)}},\quad L_m = \prod_{\mu=1}^m [\mu],\quad F_0 = L_0 = 1,\quad [\mu] = x^{p^{n\mu}}-x. \] Schließlich sei \(k = \alpha_0 + \alpha_1p^n + \cdots + \alpha_sp^{ns}\) \((0\leqq\alpha_i < p^n\)) die Entwicklung einer natürlichen Zahl \(k\) im System der Grundzahl \(p^n\). Verf. definiert in Verallgemeinerung der Polynome \(\psi_m(t)\) die Polynome \[ G_k(t)= \psi_0^{\alpha_0}(t)\psi_1^{\alpha_1}(t)\cdots\psi_s^{\alpha_s}(t), \quad G_0(t)=1,\quad G_{\alpha p^{ni}}(t) = \psi_i^\alpha(t)\quad (0\leqq\alpha<p^n) \] und setzt sich zum Ziel, verschiedene Eigenschaften der \(G_k(t)\) abzuleiten. Zu diesem Zweck betrachtet er neben \(G_k(t)\) die Polynome \[ \begin{multlined} G_k'(t)=\prod_{i=0}^s G^{\prime}_{\alpha_i p^{ni}}(t)\quad\text{mit}\quad G^{\prime}_{\alpha p^{ni}}(t)=\psi_i^\alpha \quad\text{für}\quad 0\leqq\alpha<p^{n-1},\\ G^{\prime}_{(p^n-1)p^{ni}}=\psi_i^{p^n-1}-F_i^{p^n-1}. \end{multlined} \] 1. Es gilt \(G_k(ct) = c^kG_k(t)\), \(G_k'(ct)=c^kG_k'(t)\), \(c \in \varGamma_n\), und \[ G_k(t + u) = \sum_{\varkappa=0}^k\binom{k}{\varkappa}G_\varkappa(t) G_{k-\varkappa}(u),\quad G_k'(t + u) =\sum_{\varkappa=0}^k \dbinom{k}{\varkappa}G_{\varkappa}'(t) G^{\prime}_{k-\varkappa}(u). \] 2. Jedes Polynom \(f(t)\) in \(t\) von einem Grade \(\leqq k\) hat eindeutige Darstellungen \(f(t)= \sum\limits_{\varkappa=0}^k A_\varkappa G_\varkappa(t)\), \(f(t)= \sum\limits_{i=0}^k A_i'G_i'(t)\). Für \(i < p^{nm}\) bestimmen sich die Koeffizienten \(A_i\), \(A_i'\) aus \[ (-1)^m\dfrac{F_m}{L_m}A_i=\!\!\!\!\!\!\! \sum\limits_{\operatorname{Grad} M<m}\!\!\!\!\!\!\! G^{\prime}_{p^{nm}-1-i}(M)f(M),\quad (-1)^m\dfrac{F_m}{L_m}A_i'=\!\!\!\!\!\!\! \sum\limits_{\operatorname{Grad} M<m}\!\!\!\!\!\!\! G_{p^{nm}-1-i}(M)f(M). \] 3. Für \(l < p^{nm}\) und beliebiges \(k\) gilt \[ \sum\limits_{\operatorname{Grad} M<m}\!\!\!\!\!\!\! G_l'(M)G_k(M) = (-1)^m \dfrac{F_m}{L_m}\quad\text{für}\quad k + l = p^{nm} - 1,\quad =0 \;\text{sonst}. \] Für \(k< p^{nm}\), \(l< p^{nm}\) gilt \[ \sum\limits_{\operatorname{Grad} M<m}\!\!\!\!\!\!\!{}' G_l'(M)G_k(M) = (-1)^m \dfrac{F_m}{L_m}\quad\text{für}\quad k + l = p^{nm} - 1,\quad =0 \;\text{sonst}. \] \(\sum{}'\) bedeutet, daß nur über Polynome mit höchstem Koeffizienten 1 summiert wird. -Der letzte Abschnitt bringt einige arithmetische Anwendungen.