Delle equazioni a radici opposte. (Q2585847)

Die Gleichung \[ a_0x^{2n+1} + a_1x^{2n} + \cdots + a_{2n+1} = 0 \] hat genau dann \(n\) Paare entgegengesetzter Wurzeln, wenn \[ \dfrac{a_1}{a_0} = \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{a_5}{a_4} =\cdots= \dfrac{a_{2n+1}}{a_{2n}} ( = \alpha) \] ist; -- \(\alpha\) ist dann eine weitere Wurzel derselben. Schreibt man \[ f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n = \varphi(x^2) + x\psi(x^2), \] so hat allgemeiner die Gleichung \(f(x)=0\) genau dann mindestens \(p\bigg(\leqq\dfrac{n}2\bigg)\) Paare entgegengesetzter Wurzeln, wenn die Polynome \(\varphi(x)\) und \(\psi(x)\) \(p\) Wurzeln gemein haben, was man in bekannter Weise durch Resultanten-, d. h. Determinantenbedingungen zum Ausdruck bringen kann; für \(n= 4, 5, 6\) werden diese ausgerechnet.