Bounds for the roots of a trinomial equation. (Q2585868)

Über die Lage der komplexen Wurzeln \(Z\) der trinomischen Gleichung \[ Z^n+aZ^k+b=0 \] werden die beiden Sätze bewiesen: 1) Sind \(X_{1}\) und \(X_{2}\) die positiven reellen Wurzeln der Gleichungen \(X_1^n+|\,a\,|X_1^k-|\,b\,|=0\) und \(X_2^n-|\,a\,|X_2^k-|\,b\,|=0\), so liegt die Wurzel \(Z\) in dem Ring \(X_1\leqq |\,Z\,|\leqq X_2\). 2) Sind \(X_{3}\) und \(X_{4}\) die positiven reellen Wurzeln der Gleichungen \[ X_3^{n-k}=|\,b\,|^\tfrac{n-k}{n}-|\,a\,|\;\;\text{und}\;\;X_4^{n-k}=|\,b\,|^\tfrac{n-k}{n}+|\,a\,|, \] so liegt \(Z\) in dem Ringe \(X_{3}\leqq |\,Z\,|\leqq X_4\), und es ist \(X_{3}<X_1\) und \(X_4 > X_2\). Beispiele.