\(p\)-Sylowgruppen und \(p\)-Faktorgruppen. (Q2585910)

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist eine möglichst weitgehende Aussage in der Richtung des bekannten Satzes von \textit{Burnside}: Liegt eine Sylowgruppe \(\mathfrak P\) der endlichen Gruppe \(\mathfrak G\) im Zentrum ihres Normalisators, so besitzt \(\mathfrak G\) einen Normalteiler, dessen Faktorgruppe zu \(\mathfrak P\) isomorph ist. Das Ergebnis ist ein verhältnismäßig kompliziert zu formulierender Satz. Im folgenden seien daher nur die wichtigsten Folgerungen aus diesem Satz angeführt: Die in \(\mathfrak P\) gelegenen Lösungen der Gleichung \(X^{p^{ k}}=E\) mögen für eine natürliche Zahl \(k\) eine Gruppe \(\mathfrak P_1\) bilden. \(\mathfrak N\) sei der Normalisator von \(\mathfrak P_1\) in \(\mathfrak G\), \(\overline{\mathfrak N}\) ein Normalteiler von \(\mathfrak N\), dessen Index \((\mathfrak N: \overline{\mathfrak N})\) eine Potenz von \(p\) ist. Falls \(\mathfrak P_1\) in \(\overline{\mathfrak N}\) enthalten ist, besitzt \(\mathfrak G\) einen Normalteiler \(\overline{\mathfrak G}\) mit \(\overline{\mathfrak G}\cap\mathfrak N=\overline{\mathfrak N}\) und \(\mathfrak G/\overline{\mathfrak G}\simeq\mathfrak N/\overline{\mathfrak N}\). \(\mathfrak M\) sei der Normalisator von \(\mathfrak P\) in \(\mathfrak G\). Dann gilt: Ist \(\mathfrak P\) regulär (im Sinne von P. Hall), so ist die maximale \(p\)-Faktorgruppe von \(\mathfrak G\) isomorph zu derjenigen von \(\mathfrak M\). Da die Ordnung einer irregulären \(p\)-Gruppe \(\geqq p^{p+1}\) ist, folgt hieraus: Ist die Ordnung von \(\mathfrak G\) nicht durch \(p^{p+1}\) teilbar, so ist die maximale \(p\)-Faktorgruppe von \(\mathfrak G\) isomorph zu derjenigen des Normalisators einer \(p\)-Sylowgruppe von \(\mathfrak G\). Durch ein Beispiel wird gezeigt, daß hierbei die Schranke \(p^{p+1}\) nicht mehr vergrößert werden kann. Ferner werden Bedingungen angegeben, unter denen eine vorgelegte \(p\)-Untergruppe von \(\mathfrak G\) als Sylowgruppe eines Normalteilers von \(\mathfrak G\) auftreten kann, dessen Index eine Potenz von \(p\) ist.