Über primitive Gruppen in drei Veränderliehen. (Q2585943)

Die von Lie längst geleistete Bestimmung dieser Gruppen wird hier auf einem neuen Wege durchgeführt. Während aber Lie acht Typen von primitiven endlichen kontinuierlichen Gruppen des \(R_{3}\) gefunden hat, werden hier bloß sieben aufgestellt. Von einem zehngliedrigen Typus wird auf S. 212 gesagt, er sei mit der projektiven Gruppe eines linearen Komplexes ähnlich. Der betreffende Typus enthält aber drei paarweise vertauschbare infinitesimale Transformationen. In der Tat ist auch dieser Typus mit der zehngliedrigen konformen Gruppe ähnlich, und die Gruppe des linearen Komplexes fehlt überhaupt in der Aufzählung des Verf. Es wäre aber verkehrt, wollten wir deshalb den neuen Weg des Verf. mit Stillschweigen übergehen. Dieser beruht darauf, daß ein von \textit{Tschebotareff} in seiner Theorie der Lieschen Gruppen (Moskau, 1940) für den Fall der Ebene ausgeführter Gedanke auf den \(R_{3}\) übertragen wird. Die infinitesimalen Transformationen der Gruppe werden in der Umgebung des Koordinatenanfangs, der von allgemeiner Lage sein soll, nach Potenzen von \(x^1\), \(x^2\), \(x^3\) entwickelt, und es werden die Glieder 1. Ordnung betrachtet, die in den von Lie sogenannten infinitesimalen Transformationen 1. Ordnung der Gruppe auftreten. Diese Glieder haben die Form: \(\sum\limits_{\alpha,\beta }^{1,2,3}\kern-2pt a_\alpha ^\beta \,x^\alpha p_\beta \), erzeugen eine lineare homogene Gruppe und bilden einen Lieschen Ring. Man kann sie durch die kovariante Matrix \(|\,a_\alpha ^\beta \,|\) bestimmen, und zwar ist diese Matrix in Wahrheit ein Bündel von Matrizen, linear abgeleitet aus einer Basis von solchen Matrizen. Soll nun die Gruppe primitiv sein, so muß es unter den Matrizen des Bündels mindestens eine geben, deren charakteristische Gleichung lauter verschiedene Wurzeln hat. Im Falle der Ebene hat Tschebotareff dies direkt bewiesen, im Falle des \(R_{3}\) erschließt es Verf. aus einem Satze, den er für Bündel von dreireihigen Matrizen beweist, und der eine Eigenschaft derjenigen Bündel von Matrizen ausspricht, bei denen jede dem Bündel angehörige Matrix eine charakteristische Gleichung hat, deren Wurzeln nicht sämtlich einfach sind. Auf diese Weise ergeben sich die Formen, welche die Glieder 1. Ordnung in den infinitesimalen Transformationen 1. Ordnung einer primitiven Gruppe möglicherweise haben können. Sodann wird untersucht, ob infinitesimale Transformationen höherer Ordnung auftreten können, und es stellt sich heraus, daß höchstens solche von 2. Ordnung vorkommen, deren mögliche Formen bestimmt werden. Nunmehr kann man die möglichen Zusammensetzungen der Gruppe ermitteln und schließlich die einzelnen Gruppen auf Normalformen zurückführen. Daß diese theoretisch vollkommene Methode bei der praktischen Durchführung ihre Schwierigkeiten hat, geht deutlich daraus hervor, daß dem Verf. das durch eine sechsgliedrige Basis bestimmte Matrizenbündel entgangen ist, das zu der zehngliedrigen projektiven Gruppe eines Linienkomplexes führt.