Über die Axiome des Gruppoids. (Q2585990)

Bei der Einführung des Gruppoidbegriffes hat \textit{H. Brandt} (Math. Ann., Berlin, 96 (1926), 360-366; F. d. M. 52, 110 (JFM 52.0110.*)) ein vollständiges, aber nicht irreduzibles Axiomensystem angegeben. Es lautet: I. Axiom der Eindeutigkeit des Produktes und beider Quotienten. In \(AB = C\) sind \(A\), \(B\) und \(C\) eindeutig. II. Assoziativaxiome. Mit \(AB\) und \(BC\) existiert \((AB)\; C\) und \(A(BC)\), mit \(AB\) und \((AB)C\) existiert \(BC\) und \(A\,(BC)\), mit \(BC\) und \(A(BC)\) existiert \(AB\) und \((AB)C\), und jedesmal ist \((AB)C = A(BC)=ABC\). III. Axiom der Einheiten und des Inversen Elementes. Mit \(A\) existieren eindeutig die Elemente \(E\), \(E'\) und \(\overline{A}\) mit \(AE = A\), \(E'A = A\), \(\overline{A}A = E\). IV. Verbindungsaxiom. Für zwei Einheiten \(E\) und \(E'\) gibt es stets Elemente \(A\) mit \(AE = A\), \(E'A= A\). Durch Weglassen der überflüssigen Bestandteile gewinnt man hieraus ein irreduzibles System. I\(^0\) Wenn eine Bestimmung von \(AB\) einer von \(A'B\) gleich ist, so ist \(A' = A\), ebenso ist \(B = B'\), wenn \(AB = AB'\) ist. Gegenüber I ist die Eindeutigkeit des Produktes weggelassen. II\(^0\) \((AB) C\) und \(A(BC)\) bestimmen denselben Wertevorrat. III\(^0\) Mit \(A\) existiert mindestens ein \(E\) und \(\overline{A}\) mit \(AE = A\) und \(\overline{A}A = E\). IV\(^0\) Gegenüber IV verlangt man nur die Existenz von \(E'A\). Es gilt nun der Satz: I\(^0\), II\(^0\), III\(^0\) und IV\(^0\) stellen ein vollständiges und irreduzibles Axiomensystem dar. -- Durch entsprechende Abänderungen gewinnt Verf. noch zwei vollständige, irreduzible Systeme, die aber keine ausgezeichneten Elemente wie \(E\), \(E'\) und \(\overline{A}\) benutzen.