The units of group-rings. (Q2586011)

Verf. geht von einer Bedingung für Gruppen \(G\) aus der Topologie der Polyeder aus: In dem Gruppenring \(C (G)\) über dem Ring \(C\) der ganzrationalen Zahlen entsteht jede linksinvertierbare Matrix durch gewisse elementare Transformationen aus der Einheitsmatrix. Verf. zeigt, daß die zyklischen Gruppen der Ordnung 2, 3, 4 und \(\infty\) diese Bedingung erfüllen. Andererseits ist diese Bedingung nicht erfüllt, wenn \(G\) abelsch ist und \(C (G)\) eine nicht-triviale Einheit \(E\) (d. h. \(E \not = \pm e\) mit \( e \in G)\) besitzt. Verf. beweist: Eine endliche abelsche Gruppe \(G\), für die \(C (G)\) nur triviale Einheiten hat, ist direktes Produkt von zyklischen Gruppen der Ordnungen 2 und 3 oder 2 und 4. Hieraus folgt für Torsionsgruppen \(G\), für die \(C (G)\) nur triviale Einheiten hat, daß jedes Element von der Ordnung 2, 3, 4 oder 6 ist, und dann, daß \(G\) abelsch ist oder direktes Produkt einer Quaternionengruppe mit einer abelschen Gruppe. -- Über torsionsfreie Gruppen \(G\) wird bewiesen: Ist jede Untergruppe (\( \not = 1\)) von \(G\) diskret bewertbar, so hat der Gruppenring \(K (G)\) über einem nullteilerfreien Ring \(K\) nur triviale Einheiten.