Über die Produktzerlegung der Hauptideale. III. (Q2586025)

In Verallgemeinerung früherer Ergebnisse (vgl. J. Sci. Hirosima Univ. A 9 (1939), 145-155; F. d. M. 65, 105) wird bewiesen: \(R\) sei ein kommutativer Ring mit Einselement, in dem jedes Hauptideal als Potenzprodukt endlich vieler Primideale darstellbar ist. \(R\) ist dann die direkte Summe endlich vieler Ringe \(R_i\) mit Einselementen, die entweder Integritätsbereiche oder primäre Ringe sind. Im zweiten Fall ist das einzige Primideal ein Hauptideal, im ersten brechen für jedes Hauptideal \((a)\) die Idealquotientenketten \((a) : \mathfrak a_1 \subset (a) : \mathfrak a_2 \subset (a) : \mathfrak a_3 \subset \cdots \) stets ab, und jedes höchste Primideal eines beliebigen Hauptideals ist stets umkehrbar. Von diesem Satz gilt auch die Umkehrung.