The minimum number of generators for inseparable algebraic extensions. (Q2586058)

Jede endliche separabel-algebraische Erweiterung \(L\) eines Körpers \(K\) kann bekanntlich nach dem Abelschen Satz durch Adjunktion eines primitiven Elementes erzeugt werden. Es sei nun \(K\) von Primzahlcharakteristik \(p\) und \(L/K\) rein inseparabel. Frage: Was ist die kleinste ganze Zahl \(m\), so daß jede endliche Erweiterung \(L/K\) durch nicht mehr als \(m\) Elemente erzeugt werden kann? Ist \(K/K^p\) endlich, so ist \([K: K^p] = p^m\), und \(m = m(K)\) heißt nach \textit{Teichmüller} (Deutsche Math. l (1936), 362-388; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 101) der \textit{Unvollkommenheitsgrad} von \(K\); ist \([K: K^p]\) unendlich, so wird \(m(K) = \infty\) gesetzt. Verf. beweisen: Ist \(m(K)\) endlich, so kann jede endliche Erweiterung \( L\) von \(K\) durch Adjunktion von nicht mehr als \(m\) Elementen erzeugt werden. Überdies gibt es endliche Erweiterungen \(L/K\), die nicht durch Adjunktion von weniger als \(m\) Elementen erhalten werden können. Ist \(m (K)\) unendlich, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl \(n\) eine endliche Erweiterung \(L/K\), welche nicht durch Adjunktion von weniger als \(n\) Elementen erhalten werden kann. Es gilt stets \(m(L) \leqq m (K)\).