Regular normal extensions over complete fields. (Q2586061)

Es sei \(k\) ein diskret bewerteter perfekter Körper mit einem endlichen Restklassenkörper. Es sei \(q\) die Anzahl der Elemente des Restklassenkörpers von \(k\) und \(p\) eine von 2 verschiedene Primzahl mit \(q - 1 \equiv 0\) mod \(p\). Verf. nennt die galoisschen Erweiterungen vom Grad \(p^n\) über \(k\) für beliebiges \(n\) regulär. Es sei \(k = A_0\subset A_1 \subset A_2 \cdots \subset A_{i-1} \subset A_i \cdots\) die Folge der Erweiterungen von \(k\), die dadurch definiert sind, daß \(A_i\) die maximale abelsche Erweiterung vom Exponent \(p\) über \(A_{i-1}\) ist. Es sei ferner \(N^{(p)} = \sum\limits_{i=1}^\infty A_i\). Verf. zeigt, daß alle regulären Erweiterungen von \(k\) in \(N^{(p)}\) enthalten sind. Es sei \(p^\mu\) die höchste Potenz von \(p\), die \(q - 1\) teilt. Dann konstruiert Verf. eine überall dichte Untergruppe \(F^{(p)}\) der Galoisgruppe von \(N^{(p)}/k\), wobei \(F^{(p)}\) von der Gestalt \(\{ \sigma, \tau; \, \tau^{-1} \sigma \tau = \sigma^{1+p^\mu}\}\) ist. Es zeigt sich ferner, daß die Galoisgruppen aller regulären Erweiterungen von \(k\) homomorphe Bilder von \(F^{(p)}\) sind und umgekehrt. Es werden schließlich gewissen regulären Erweiterungen von \(k\) multiplikative Untergruppen gewisser Divisionsalgebren über \(k\) zugeordnet.