Additive prime number theory in real quadratic fields. (Q2586068)

Verf. gibt einen Beitrag zur Lösung des allgemeinen Goldbachschen Problems, d. h. des Problems der Darstellung von Zahlen eines algebraischen Körpers als Summe von Primzahlen dieses Körpers. Früher hat bekanntlich Rademacher gezeigt, daß ``fast alle'' genügend ``großen'' ``ungeraden'' (d. h. Zahlen, die durch kein Primideal der Norm 2 teilbar sind) ganzen Zahlen eines beliebigen Körpers sich als Summe von drei Primzahlen dieses Körpers darstellen lassen, wenn die folgende Hypothese über die Nullstellen aller Heckeschen \(\zeta (s, \lambda)\)-Funktionen gemacht wird: Wenn \(\theta\) die obere Grenze der Realteile aller Nullstellen aller \(\zeta (s, \lambda)\) des Körpers ist, so sei \(\theta < \frac 34\). (Siehe \textit{W. E. Rademacher}, Abh. math. Sem. Hamburg. Univ. 3 (1924); 109-163, 331-378; Math. Z. 27 (1927), 321-426; F. d. M. 50, 102 (JFM 50.0102.*); 53, 154). Verf. vervollständigt nun die Untersuchungen von Rademacher und zeigt unter Annahme derselben Hypothese, daß ``fast alle'' ``geraden'' (d. h. Zahlen, die durch Primideale der Norm 2 teilbar sind) totalpositiven ganzen Zahlen eines reellen quadratischen Körpers sich als Summe von zwei totalpositiven Primzahlen des Körpers darstellen lassen, oder genau: Wenn \(P (V, V^\prime)\) die Anzahl derjenigen totalpositiven geraden ganzen Zahlen \(\mu\) im Rechteck \(0 < \mu \leqq V\), \(0 < \mu^\prime \leqq V^\prime\) ist, die als Summe von zwei totalpositiven Primzahlen nicht dargestellt werden können, so ist \[ \lim_{_{\substack{ V \to \infty \\ V^\prime \to \infty }}} \frac {P (V, V^\prime)}{(VV^\prime )^{2\theta \tfrac 12 + \varepsilon}} = 0. \] Verf. benutzt teilweise dasselbe Verfahren wie Rademacher in den genannten Arbeiten, d. h. die Übertragung der Hardy-Littlewoodschen Methode vom speziellen zum allgemeinen Goldbachschen Problem, macht aber auch von anderen Hilfsmitteln Gebrauch, was in diesem Falle zum Erfolg führt.