Produktformeln für verallgemeinerte Gaußsche Summen und ihre Anwendung auf die Klassenzahlformel für reelle quadratische Zahlkörper. (Q2586070)

Als Gegenstück zur Formel \(hw | d | = \sum b - \sum a\) für die Klassenzahl imaginär quadratischer Zahlkörper, wo \(d\) die Diskriminante und \(w\) die Anzahl der Einheitswurzeln im Körper ist, während \(a\) und \(b\) die kleinsten positiven Reste mod \(d\) durchlaufen mit \(\left(\dfrac da \right) = +1\), \(\left(\dfrac db \right)=-1\), wird hier ein geschlossener und zugleich abzählender Ausdruck für den reellen Fall aufgestellt durch \(\varepsilon^h = U + V \sqrt{d}\) für Primzahl \(d = p\), wo \(\varepsilon > 1\) die außerdem zu berechnende Fundamentaleinheit ist. Die Bestimmung von \(U\) und \(V\) erfolgt durch Gaußsche Summen \[ \tau (\psi)= \sum_{x \text{ in } \mathfrak G} \psi (x) e(x) \quad \text{ mit } \quad e(x) = e^{\tfrac {2\pi i}p x}, \] betrachtet als Funktion eines Charakters \(\psi\) der Multiplikationsgruppe \(\mathfrak G\) des Primkörpers der Charakteristik \(p\), und ihre Verallgemeinerungen \[ \tau (\psi_m)= \sum_{x \text{ in } \mathfrak G^m} \psi_m (x) e(x), \] wo \(\psi_m (x) = \psi (y)\) mit \(y^m = x\), doch \(= 0\) für nicht in \(\mathfrak G^m\) liegendes \(x\). Für \(m = ke\) wird die der Zerlegung von \(\mathfrak G / \mathfrak G^m \) nach \(\mathfrak G^k / \mathfrak G^m \) entsprechende Zerlegung \(\mathfrak R = \mathfrak r_1 + \cdots + \mathfrak r_k\) eines Repräsentantensystems \(\mathfrak R\) für \(\mathfrak G / \mathfrak G^m \) betrachtet. Für die Funktion \[ \varTheta_{\mathfrak r_i} (\psi_m) = \prod_{r_i \text{ in } \mathfrak r_i} \tau_{r_i} (\psi_m), \] wo \(\tau_a (\psi)= \sum \psi (x) e(ax) =\bar{\psi}(a) \tau(\psi)\) bedeutet, entstehen im Falle \(k = 1\) Ausdrücke \[ \varTheta_{\mathfrak R} (\psi_m) = R(\psi_m)\cdot \tau (\psi), \] wo \(R(\psi_m)\) ganz und prim zu \(p\) (vgl. Aufgabe 282, gestellt vom Verf., Jber. Deutsche Math.-Verein. 50 (1940), 1-2 kursiv); z. B. für \(p = 7\), \(m = 2\) ist \[ (\zeta + \varrho \zeta^4 + \varrho^2 \zeta^2) ( \zeta^6 + \varrho \zeta^3 + \varrho^2 \zeta^5) = \varrho^2 ( \zeta + \zeta^6 + \varrho \zeta^2 + \varrho \zeta^5 + \varrho^2 \zeta^3 + \varrho^2 \zeta^4) \] (\( \varrho\) dritte, \( \zeta\) siebente Einheitswurzel, \(\mathfrak R = (1, 3)\), \(\psi_2 (2) = \varrho^2\), \(R (\psi_ 2) = \varrho \)). Die Anwendung auf reell quadratische Zahlkörper liefert der Fall \(k = 2\); \(l = \dfrac {p-1}4\); \(m = \dfrac {p-1}2\). Man erhält \[ \begin{matrix} \l \\ R_1 (\psi_m) = \sum\limits_{_{\substack{ a\mathfrak x = 1 \\ \mathfrak x \text{ in } \mathfrak G^m}}} \psi_m (|\mathfrak x|) = \sum\limits_{_{\substack{ \mathfrak a \mathfrak x \equiv 1 (p) \\ \mathfrak x = (\pm 1, \cdots, \pm 1)}}} |\mathfrak x | = A, \\ R_2 (\psi_m) = \sum\limits_{_{\substack{ \mathfrak b \mathfrak x \equiv 1 (p) \\ \mathfrak x = (\pm 1, \cdots, \pm 1)}}} |\mathfrak x | = B. \end{matrix} \] Dabei ist \(\mathfrak a = \mathfrak r_1\), \(\mathfrak b = \mathfrak r_2\) und \(| \mathfrak x |\) das Produkt der Elemente aus \(\mathfrak x\). Es wird \(U = \psi (2) (aA^2 - 2 bAB - aB^2)\) und \(V = A^2 + B^2\). (Das \(\mathfrak R\) auf S.313 u. bedeutet ``Realteil''.)