Über den geraden Teil der Idealklassengruppen in algebraischen Zahlkörpern. (Q2586078)

Es liege in einem beliebigen algebraischen Zahlkörper \(k\) von endlichem Grade die allgemeinste Idealklasseneinteilung mit der Hauptklasse \(H\) vor, \(e_n\)(\(n\geqq 1\)) bedeute die Anzahl der durch \(2^n\) teilbaren Invarianten der Klassengruppe, und \(K_n\) bezeichne einen durch \(H\) induzierten Klassenkörper, der vom Relativgrade \(2^n\) und zyklisch über \(k\) ist. Es wird eine Methode entwickelt, nach der man \(e_n\)(\(n \geqq 2\)) durch die Aufstellung der ambigen Idealklassen \(B\)(\(B^2 = H\)) und die Konstruktion aller \(K_{n-1}\) ermitteln kann. Die Hauptrolle spielt ein aus dem Artinschen Symbol abgeleitetes Symbol \((K_1, C)_n\) (s. unten), das eine Verallgemeinerung des Spezialfalles \(a_3 |a_1a_2\) des vom Verf. eingeführten Symbols \(\{a_1, a_2, a_3\}\) ist (vgl. Math. naturw. Anz. Ungar. Akad. Wiss. 56 (1937), 807-847; F. d. M. \(63_{\text{II}}\), 915). Des näheren enthält die Arbeit folgendes: (I.) über einem \(K_n\)(\(n \geqq 1\)) gibt es einen \(K_{n+1}\) dann und nur dann, wenn das Artinsche Symbol \(\left( \dfrac {K_n}B\right)\) für alle \(B\) gleich 1 ist. (In \(\left( \dfrac {K_n}B\right)\) ist für \(B\) ein beliebiges Ideal einzusetzen.) Unter (\(K_1\)) wird die Abelsche Gruppe vom Typus \((2, 2, \dots, 2) \) der Elemente \(K_1\) und \(k\) (\(=\) Einheit) verstanden, wobei als Kompositum \(K_1 \cdot L_1\) von zwei voneinander und von \(k\) verschiedenen Elementen \(K_1\), \(L_1\) der dritte über \(k\) quadratische Unterkörper des zusammengesetzten Körpers \(K_1L_1\) erklärt ist. (II.) Für \(n \geqq 1\) bilden \(k\) und die \(K_1\), über denen es einen \(K_n\) gibt, eine Untergruppe \((K_1)_n\) von \((K_1)\) der Ordnung \(2^{e_n}\). ((I) und (II) sind Verallgemeinerungen der Sätze von \textit{Reichardt}, J. reine angew. Math. 170 (1933), 75-82; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 192.) Definition: Ist \(K_1\) ein Element von \((K_1)_n\) (\(n \geqq 1\)) und ist \(\left( \dfrac {K_n}C\right)\) (\(K_1 \leqq K_n\), \(C\) eine Idealklasse) gegenüber der besonderen Wahl von \(K_n\) invariant und von der Ordnung \(\leqq 2\), so bedeute \((K_1, C)_n\) das Element gleicher Ordnung in der multiplikativen Gruppe der Zahlen \(1\), \(- 1\). (III.) und (IV.) Es gelten \((K_1, C)_n (K_1, C^\prime)_n = (K_1, CC^\prime)_n\), \((K_1, C)_n (L_1, C)_n = (K_1\cdot L_1, C)_n\) (\(K_1 \not = L_1\)). (V.) \((K_1, C)_n\) existiert für \(n = 1\) unbeschränkt, für \(n \geqq 2\) dann und nur dann, wenn alle \((L_1, C)_{n-1}\) (\(L_1\) in \((K_1)_{n-1}\)) existieren und gleich 1 sind. (VI.) \(K_1\) gehört zu \((K_1)_n\) dann und nur dann, wenn alle \((K_1, B)_{n-1}\), die existieren, gleich 1 sind. Weiter wird in (VII) der kürzeste Weg zur Bestimmung von \(e_n\) aus (I) bis (VI) angegeben. In einer späteren Arbeit folgen Anwendungen auf die Ringklassengruppe und Norm der Ringeinheiten in quadratischen Zahlkörpern als Erweiterung von früheren Untersuchungen des Verf. (Die Methode weicht völlig von der bei \textit{Inaba} ab; vgl. die vorstehend besprochene Arbeit.)