Résolution de l'équation \(Ax^m + By^n = z^p\) en nombres rationnels. (Q2586153)

Von der Gleichung \[ Ax^m + By^n = z^p \tag{1} \] mit ganzen rationalen Exponenten \(m\), \(n\), \(p\) und rationalen Koeffizienten \(A\), \(B\) werden sämtliche rationalzahligen Lösungen \(x\), \(y\), \(z\) gesucht. Sind die Exponenten \(m\), \(n\), \(p\) relativ prim untereinander, so kann man neun ganze rationale Zahlen \[ \lambda, \mu, \nu; \quad \lambda_1, \mu_1, \nu_1; \quad \lambda_2, \mu_2, \nu_2 \] finden, die den Bedingungen \[ \left\{\begin{matrix} \r \\ m\nu - n \nu_1 = 0 \\ n\lambda_1 - p\lambda_2 = 0 \\ p\mu_2 - m\mu = 0 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} \r \\ m\lambda - p\lambda_2 = 1 \\ n\mu_1 - m\mu = 1 \\ p\nu_2 - n\nu_1 = 1 \end{matrix} \right. \] und der Bedingung \[ \begin{vmatrix} \lambda & \mu & \nu \\ \lambda_1 & \mu_1 & \nu_1 \\ \lambda_2 & \mu_2 & \nu_2 \end{vmatrix} = 1 \] geniügen; die Gesamtheit der rationalzahligen Lösungen von (1) ergibt sich dann aus sämtlichen rationalzahligen Lösungen der Gleichung \[ AX + BY = Z \] mittels der Transformation \[ x = X^\lambda Y^\mu Z^\nu, \quad y = X^{\lambda_1} Y^{\mu_1} Z^{\nu_1}, \quad z = X^{\lambda_2} Y^{\mu_2} Z^{\nu_2}. \]