On a system of diophantine equations. (Q2586171)

Verf. behauptet (ohne Beweis): Es seien \(s\) und \(n\) natürliche Zahlen, und es sei \[ s \geqq n \left\{\left[\frac{\log(23.2n^7\,\log\, n)}{\log\,n \log(n-1)}\right] + \right\} + \frac 12 n(n+1) \sim 7 n^2 \, \log\,n. \tag{1} \] Dann läßt sich mit Hardy-Littlewoodschen Methoden eine asymptotische Formel beweisen für die Lösungszahl des diophantischen Gleichungssystems \[ \sum_{i=1}^s x_i^k = N_k \qquad (k = 1, 2, \dots, n), \] wo die \(N_k\) gegebene ganze Zahlen sind. Diese Formel ist gültig, wenn die \(N_k\) derart gewählt werden, daß \[ N_k = h_k N_n^{\tfrac kn}, \quad E_k \leqq h_k \leqq s^{1 - \tfrac kn} e_k \qquad (k = 1, 2, \dots, n -1) \] sind und die \(E_k > 1\) und \(e_k < 1\) geeignete, von \(n\) und \(s\) abhängige reelle Zahlen sind. Die Ungleichung (1) ist eine Verschärfung eines früheren Resultates von \textit{Mardjanichvili} (C. R. Acad. Sci. URSS (2) 22 (1939), 467-470; F. d. M. 65, 139 (JFM 65.0139.*); vgl. auch F. d. M. 66, 160 (JFM 66.0160.*), wo die \(x_i\) Primzahlen sind).