Sur le problème de Waring relatif à un polynome du troisième degré. (Q2586179)

Für \[ f(x) = \frac a6 (x^3 - x) + \frac b2 (x^2 - x) + cx + d \] (\(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ganz; \((a, b, c) = 1\); \(a > 0\)) gibt Verf. folgende Sätze an: 1) Jede hinreichend große ganze Zahl ist eine Summe von acht Werten von \(f(x)\) mit ganzen \(x > 0\); 2) falls nicht \[ f(x) \equiv 2(2a^\prime + 1) x^3 + (2b^\prime + 1) x^2 + 2(2c^\prime + 1) x + d^\prime \;\pmod{16} \tag{1} \] oder \[ f(x) \equiv a^{\prime\prime} x^3 + 3b^{\prime\prime} x^2 + 3c^{\prime\prime} x + d^{\prime\prime}\;\pmod{9}, \qquad (b^{\prime\prime})^2 = a^{\prime\prime} (b^{\prime\prime} + a^{\prime\prime}) \;\pmod{3} \tag{2} \] ist, so sind fast alle ganzen positiven Zahlen darstellbar als Summen von vier Werten von \(f(x)\) mit ganzen \(x \geqq 0\). Auch in den Ausnahmefällen (1) und (2) gibt Verf. ähnliche Sätze. Verf. gibt noch an, daß die Beweise sich auf den folgenden Hilfssatz stützen: Die Anzahl der Lösungen von \[ f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) \equiv n \;\pmod{p} \] ist \(p^3 + O(p^2)\). (Die Abweichung der Bedingung (2) in dieser Note von der Bedingung (2) in der nachstehend besprochenen ausführlichen Darlegung befindet sich im Original.)