On Waring's problem with cubic polynomial summands. (Q2586180)

Verf. beweist folgende Sätze: Es sei \[ f(x) = \tfrac 16 a(x^3 - x) + \tfrac 12 b(x^2 - x) + cx + d \] ein ganzwertiges kubisches Polynom, wo \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ganz sind und \((a, b, c) = 1\), \(a > 0\) ist. Falls \textit{nicht} \[ f(x) \equiv 2 (2a^\prime + 1) x^3 + (2b^\prime + 1) x^2 + 2 (2c^\prime + 1) x + d^\prime \pmod{16} \tag{1} \] (\(a^\prime, b^\prime, c^\prime, d^\prime\) ganz) ist und auch \textit{nicht} \[ f(x) \equiv a^{\prime\prime}x^3 + 3b^{\prime\prime}x^2 + 3c^{\prime\prime}x + d^{\prime\prime} \pmod{9} \;\text{ wo } \;(b^{\prime\prime})^2 \equiv a^{\prime\prime}(c^{\prime\prime} + a^{\prime\prime}) \pmod{3} \tag{2} \] (\(a^{\prime\prime}, b^{\prime\prime}, c^{\prime\prime}, d^{\prime\prime}\) ganz) ist, so sind fast alle natürlichen Zahlen darstellbar als eine Summe von vier Werten von \(f(x)\) (mit ganzen \(x \geqq 0\)). Nicht aber sind fast alle natürlichen Zahlen eine Summe von drei Werten von \(f(x)\). In dem ersten Ausnahmefall (1) sind fast alle natürlichen Zahlen eine Summe von sieben Werten von \(f(x)\), und hier kann die Zahl sieben nicht durch eine kleinere Zahl ersetzt werden. Falls \(f(x)\) der Kongruenz (2), aber nicht der Kongruenz (1) genügt, sind fast alle natürlichen Zahlen eine Summe von fünf Werten von \(f(x)\), und die Zahl fünf kann hier nicht durch eine kleinere Zahl ersetzt werden.