On Waring's problem \(g(6) = 73\). (Q2586181)

Unter gewissen Voraussetzungen, die sich hernach im Falle \(k = 6\), \(s = 19\), \(\log\, P \geqq 400\), \(l = 27\) als erfüllt erweisen, wird zunächst gezeigt: Ist \(P = N^{\tfrac 1k}\), so lassen sich mindestens \(P^{k - k\left(1 - \frac 1k\right)^l}\big/ 4k^k\) natürliche Zahlen \(\leqq \dfrac{P^k}{4}\) als Summe von \(l\) nichtnegativen \(k\)-ten Potenzen darstellen. Hieraus folgt dann unter denselben Voraussetzungen, daß \(N\) die Summe von \(s + 2l\) nichtnegativen \(k\)-ten Potenzen ist. Für den obigen Sonderfall bedeutet dies, daß jede natürliche Zahl \(> e^{2400}\) die Summe von 73 sechsten Potenzen ist. Durch elementare Überlegungen und Hinzunahme der \textit{Shook}schen Tafel (vgl. den Bericht bei \textit{Dickson}, Bull. Amer. math. Soc. 39 (1933), 701-727; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 177) erweisen sich auch die natürlichen Zahlen bis \(2\,120\,581\) als Summen von 73 sechsten Potenzen. Das von \textit{Dickson} (a. a. O.) eingeführte Verfahren zeigt endlich, daß auch die Zahlen des zwischen den angegebenen Schranken gelegenen Intervalls als Summen von 73 sechsten Potenzen darstellbar sind. Zur additiven Zerlegung der Zahl 703 reichen weniger als 73 sechste Potenzen nicht aus. Die damit bewiesene Formel \(g(6) = 73\) ist nichts anderes als der ``ideale Waringsche Satz'' \(g(n) = 2^n + [(\tfrac 32)^n] - 2\) für den Exponenten \(n = 6\).