Über die Addition von Folgen natürlicher Zahlen. (Q2586187)

Bezeichnungen: Ist \(M\) eine Menge von natürlichen Zahlen, so sei \(M(n)\) die Anzahl der \(x \in M\) mit \(x \leqq n\). Sind \(A, B\) zwei Mengen natürlicher Zahlen, so bezeichne man mit \(a\) die Elemente von \(A\), mit \(b\) diejenigen von \(B\); es sei \(C = A + B\) die Menge aller \(a\), aller \(b\) und aller \(a + b\); es sei \(C_1\) die Menge aller \(b\) und aller \(a + b\); es sei \(C_2\) die Menge aller \(a + b\) und aller \(a + b - 1\) (im wichtigsten Falle \(1 \in A\), \(1 \in B\) ist \(C_1 \subset C \subset C_2\)). Es sei \(t\) eine natürliche Zahl. -Resultate: Ist \(0 < \alpha < \tfrac 12\), \ \(A(n) - \alpha (n +1) + 1 \geqq \lambda \geqq 0\), \(B(n) \geqq \alpha n\) für \(n = 1, 2, \dots, t\), so ist \(C(t) \geqq \min\,(2\alpha t, 2a(t + 1) - 1 + 2\lambda)\). Daraus folgt sehr leicht: Ist \(0 < \alpha < \tfrac 12\), \(A(n) \geqq \alpha n\), \(B(n) \geqq \alpha n\) für \(n = 1, 2,\dots, t\), so ist \ (1) \(C(t) \geqq 2\alpha t\), ja sogar schärfer \ (2) \(C_1(t) \geqq 2\alpha t\). Dabei ist (1) ein bekannter \textit{Khintchine}scher Satz (Rec. math., Moscou, \(39_{\text{III}}\) (1932), 27-34; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 159; vgl. auch \textit{Scherk}, Časopis mat. fys., Praha, 67 (1938), 263-268; F. d. M. \(64_{\text{II}}\), 986); der heutige Beweis ist aber im Verhältnis zum ursprünglichen wesentlich einfacher.