Beweis des Šnirelmanschen Satzes über die Dichte der arithmetischen Summe von Mengen. (Q2586190)

Ist \(M\) eine Menge nichtnegativer Zahlen, \(x > 0\), so sei \(m(x, M)\) das innere Lebesguesche Maß des Durchschnittes von \(M\) mit dem Intervall \((0, x)\), weiter \(\pi (x, M) = \inf\limits_{0 < \xi < x} \xi^{-1} m (\xi, M)\). Verf. zeigt: Sind \(A\), \(B\) zwei Mengen nichtnegativer Zahlen, \(0 \in A\), \(0 \in B\), und bedeutet \(A + B\) die Menge aller Zahlen der Gestalt \(a + b\) (\(a \in A\), \(b \in B\)), so ist \(\pi (x, A + B) \geqq \text{ Min }(1, \pi (x, A) + \pi (x, B))\) für \(x > 0\). Unter der zusätzlichen Voraussetzung \(\pi (x, A) \to 1\), \(\pi (x, B) \to 1\) (für \(x \to 0+)\) wurde der Satz bereits von \textit{Schnirelmann} (Rec. math., Moscou, (2) 5 (1939), 211-215; F. d. M. 65, 152 (JFM 65.0152.*)) bewiesen. Der Beweis des Verf. stellt eine Übertragung einer Methode dar, die \textit{Besicovitch} (J. London math. Soc. 10 (1939), 246-248; F. d. M. \(61_{\text{II}}\), 1069) in dem entsprechenden Problem der additiven Zahlentheorie angewendet hatte. Verf. hat (Rec. math., Moscou, (2) 5 (1939), 425-440; F. d. M. 65, 152 (JFM 65.0152.*)) auch einen anderen Beweis publiziert, der sich der Schnirelmannschen Methode anschließt.